55、阈值秘密共享需要线性大小的字母表

阈值秘密共享需要线性大小的字母表

1. 引言

在秘密共享方案的研究中，确定共享份额大小的下界是一个重要的问题。不同的访问结构对秘密共享方案的份额大小有不同的要求，目前在该领域仍存在许多未解决的问题，如上下界之间的指数差距。

2. 相关工作

• 已知的下界证明框架 ：Csirmaz的方法是一种线性规划松弛，通过香农信息不等式证明了在特定访问结构中份额熵的 $n / \log n$ 下界，进而得到 1 比特秘密共享时份额大小的相同下界。但该方法对于阈值访问结构分享 1 比特秘密时，无法给出非平凡的下界。Kilian 和 Nisan 的证明仅适用于阈值方案，且对于接近 $n$ 的 $t$ 的 $(t, n)$ - 阈值访问结构似乎无用。
• 线性方案 ：如果重建过程是份额的线性函数（在某个阿贝尔群上），则秘密共享方案是线性的。大多数已知方案是线性的，对于线性方案已有超多项式和指数下界。例如，Karchmer 和 Wigderson 证明了线性 $(2, n)$ - 阈值秘密共享方案对于 1 比特秘密的份额大小有 $\log n$ 下界，Cramer 等人将其推广到 $(s, r, n)$ - 斜坡秘密共享方案。

3. 访问结构和秘密共享

• 访问结构的定义
  • 设 $P = {1, \ldots, n}$ 是 $n$ 个参与方的集合。集合 $A \subseteq 2^P$ 是单调的（向上封闭），如果对于每个 $B \in A$ 和 $B \su