60、无限分享秘密及人类工作量证明难题设计

无限分享秘密及人类工作量证明难题设计

1. 秘密分享相关内容

1.1 分享方案的推导与分析

在秘密分享方案中，经过一系列推导，我们得到 $\sigma(2)_k (t)$ 的表达式。将相关内容代入公式后可得：
$\sigma(2)_k (t) = (k - 1) \cdot \log t + k \cdot \sigma(1)_k (\log t + k) + k^2$
$\leq(k - 1) \cdot \log t + 6k^3 \cdot \log \log t \cdot \log \log \log t + 6k^4 \cdot \log k + k^2$
$\leq(k - 1) \cdot \log t + 6k^3 \cdot \log \log t \cdot \log \log \log t + 7k^4 \cdot \log k$

这里可以像定理 8 的证明那样，反复迭代应用引理 2 来减少对 $\log \log t \cdot \log \log \log t$ 的依赖，但使用此方法无法改善对 $\log t$ 的依赖。

1.2 方案向更大秘密域的推广

当秘密长度为 $\ell$ 时，参考引理 2 的证明，若存在一个支持长度为 $\ell$ 秘密的演化 $k$ - 阈值访问结构方案，其中第 $t$ 方的份额大小为 $\sigma(t)$ ，那么存在一个相同访问结构和相同秘密长度的方案，第 $t$ 方的份额大小有如下上界（参考公式 (1)）：
$\max{\log t + (k - 1), \ell} + \sigma(\log t + (k - 1)) + (k -