34、广义非线性相关的进一步结果

广义非线性相关的进一步结果

1. 函数非线性与广义非线性的定义

首先，我们定义函数 $\rho \in F_n$ 的非线性和广义非线性。
- Hadamard 变换 ：$\rho \in F_n$ 的 Hadamard 变换定义为 $\hat{\rho}(\lambda) = \sum_{x\in GF(2^n)}(-1)^{\rho(x)+Tr(\lambda x)}$。
- 非线性 ：$\rho \in F_n$ 的非线性定义为 $NL(\rho) = 2^{n - 1} - \frac{1}{2}\max_{\lambda\in GF(2^n)}|\hat{\rho}(\lambda)|$。当 $n$ 为偶数时，若对于任意 $\lambda \in GF(2^n)$ 都有 $\hat{\rho}(\lambda) = \pm 2^{\frac{n}{2}}$，则称 $\rho$ 为 bent 函数。
- 扩展 Hadamard 变换 ：定义为 $\hat{\rho}(\lambda, c) = \sum_{x\in GF(2^n)}(-1)^{\rho(x)+Tr(\lambda x^c)}$，其中 $\gcd(c, 2^n - 1) = 1$，$c$ 是模 $2^n - 1$ 的陪集代表元，$\lambda \in GF(2^n)$。
- 广义非线性 ：$NLG(\rho) = 2^{n - 1} - \frac{1}{2}\max_{\lambda\in GF(2^n),\gcd(c,2^n - 1) = 1}|\sum