10、非可逆多项式的NTRU变体与树替换公钥密码系统

非可逆多项式的NTRU变体与树替换公钥密码系统

1. 非可逆多项式的NTRU变体

在相关研究中，有如下重要的数学推导。首先给出了一个关于某些多项式运算的不等式关系：
[
\frac{1}{|R_q^ |}\sum_{Q\in R_q^ }\left| T_d(S, Q, L) - \frac{|L|}{q^{N - 2d}}\right| \leq |R_q^ |^{-\frac{1}{2}}|L|^{\frac{1}{2}}q^{d - \frac{N}{2}}\sum_{\substack{J\subseteq{1,\ldots,r}\J\neq\varnothing}}\prod_{j\notin J}q^{\frac{n_j}{2}}\prod_{j\in J}q^{n_j}
]
通过一系列的数学变换，得到：
[
|R_q^ |^{-\frac{1}{2}}|L|^{\frac{1}{2}}q^{d - \frac{N}{2}}\sum_{\substack{J\subseteq{1,\ldots,r}\J\neq\varnothing}}\prod_{j\notin J}q^{\frac{n_j}{2}}\prod_{j\in J}q^{n_j}
= |R_q^ |^{-\frac{1}{2}}|L|^{\frac{1}{2}}q^{d}\sum_{\substack{J\subseteq{1,\ldots,r}\J\neq\varnothing}}\prod_{j\in J}q^{\frac{n_j}{2}}
= |R_q^ |^{-\frac{1}{2}}|L|