3、周期序列线性复杂度的快速算法

周期序列线性复杂度的快速算法

1. 引言

在密码学领域，周期序列的线性复杂度是衡量序列不可预测性的重要指标。然而，传统的线性复杂度计算方法可能效率较低，因此寻找快速算法具有重要意义。

设 $s = {s_0, s_1, s_2, s_3, \cdots}$ 是定义在有限域 $GF(q)$ 上的序列。若存在正整数 $L$ 和 $c_1, c_2, \cdots, c_L \in GF(q)$，使得对于任意 $j \geq L$ 都有 $s_j + c_1s_{j - 1} + \cdots + c_Ls_{j - L} = 0$，则称 $s$ 为 $L$ 阶线性递归序列，其中最小的 $L$ 称为 $s$ 的线性复杂度，记为 $c(s)$。若存在正整数 $N$，使得对于 $i = 0, 1, 2, \cdots$ 都有 $s_i = s_{i + N}$，则称 $s$ 为周期序列，$N$ 为 $s$ 的一个周期。$s$ 的生成函数定义为 $s(x) = s_0 + s_1x + s_2x^2 + s_3x^3 + \cdots$。

对于周期序列 $s$，其第一个周期为 $s_N = {s_0, s_1, \cdots, s_{N - 1}}$，则有：
[
s(x) = \frac{s_N(x)}{1 - x^N} = \frac{s_N(x) / \gcd(s_N(x), 1 - x^N)}{(1 - x^N) / \gcd(s_N(x), 1 - x^N)} = \frac{g(x)}{f_s(x)}
]
其中，$f_s(x) = \frac{1 - x^N}{\gcd(s_N(x), 1 - x^N)}$，$g(x) = \frac{s_N