CDQ分治的一些理解

最新推荐文章于 2024-02-26 17:43:38 发布

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我是看这个学会的：mlystdcall
咕咕咕了好久的一个东西。
使用该算法的两个条件：

题目允许使用离线算法；
答案无后效性，即修改区间中位置上5的值，不会对区间[1,4]的查询产生影响。

定义 $s o l v e (l, r)$ 表示对于 ${\forall}k\in[l,r]$ 若第 $k$ 项操作是查询，则计算第 $[l, k - 1]$ 中的所有修改操作对它造成的影响。
计算方法：

$m i d = (l + r) > > 1$ ，递归计算 $s o l v e (l, m i d)$
递归计算 $s o l v e (m i d + 1, r)$
计算 $[l, m i d]$ 中所有的修改对 $[m i d + 1, r]$ 中的所有查询造成的影响。

为什么这样做是对的？
对于 $[l, m i d]$ 中的所有修改对查询造成的影响已经在递归处理 $s o l v e (l, m i d)$ 中计算完毕了， $[m i d + 1, r]$ 中的也已经递归计算完毕了，那么只剩下 $[l, m i d]$ 中的修改对于 $[m i d + 1, r]$ 中的查询造成的影响了，故最后处理这一部分的影响。
从一道例题出发吧：
支持单点修改，区间查询。
很裸的树状数组。
这里拿cdq来写，定义结构体：

struct Node{
    int type;//操作类型;
    int idx;//操作的位置;
    int val;//修改的值或者表示第几个查询;
    bool operator <(const Node& x)const{//优先按照操作位置,其次是修改优于查询;
        if(idx!=x.idx) return idx<x.idx;
        return type<x.type;
    }
};

修改操作type为1，然后将查询 $[l, r]$ 操作拆解成两个， $s u m [r] - s u m [l - 1]$ ，对于 $l - 1$ 的查询，type=2， $r$ 的查询，type=3。
因为我们在输入的时候就是按照操作的时间顺序进行输入的，所以在分治过程中拆成的两半区间，左区间的所有操作一定是发生在右区间之前的，所以我们只记录左边的修改造成的影响，然后将其加到对应的右边的操作即可。
注意到我们查询拆成了两个前缀和的形式，那么判断修改对查询是否造成了影响，只需要

在时间线上满足时间顺序
修改位置要小于查询位置，（修改5位置上的数字，只会对查询 $[5, + o o]$ 才会产生影响）‘’
P2068 统计和
这道题数列没有初始值，如果有初始值的话，可以将初始值看成修改操作即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;


const int maxn=1e5+7;

const int maxm=2e4+7;

struct Node{
    int type;
    int idx;
    int val;
    bool operator <(const Node& x)const{
        if(idx!=x.idx) return idx<x.idx;
        return type<x.type;
    }
}query[maxm],temp[maxm];

ll ans[maxm];

void CDQ(int l,int r){
    if(l==r) return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid);
    CDQ(mid+1,r);

    int p=l,q=mid+1;
    ll sum=0;
    int o=0;
    while(p<=mid&&q<=r){
        if(query[p]<query[q]){//只记录左边的修改造成的影响;
            if(query[p].type==1) sum+=query[p].val;
            temp[o++]=query[p++];
        }
        else{//说明在此刻,右边的操作的位置要大于左边操作的位置，
        	//那么由于我们记录的是前缀和，故这一刻，左边的修改就需要加到右边的这次查询中了。
            if(query[q].type==2) ans[query[q].val]-=sum;
            else if(query[q].type==3) ans[query[q].val]+=sum;
            temp[o++]=query[q++];
        }
    }
    while(p<=mid) temp[o++]=query[p++];
    while(q<=r){
        if(query[q].type==2) ans[query[q].val]-=sum;
        else if(query[q].type==3) ans[query[q].val]+=sum;
        temp[o++]=query[q++];
    }

    for(int i=0;i<o;++i) query[l+i]=temp[i];
}
char s[9];
int main(){
    int n,w;
    scanf("%d%d",&n,&w);
    int l,r,id,x;
    int idx=0,time=0;
    for(int i=1;i<=w;++i){
        scanf("%s",s);
        if(s[0]=='x'){
            scanf("%d%d",&l,&x);
            ++idx;
            query[idx].type=1,query[idx].idx=l,query[idx].val=x;
        }
        else{
            scanf("%d%d",&l,&r);
            ++idx;
            ++time;
            query[idx].type=2,query[idx].idx=l-1,query[idx].val=time;
            ++idx;
            query[idx].type=3,query[idx].idx=r,query[idx].val=time;
        }
    }
    CDQ(1,idx);
    for(int i=1;i<=time;++i) printf("%lld\n",ans[i]);

    return 0;
}