对顶堆(动态维护中位数)

给定序列长度n，每输入奇数个数，求其中位数一次，最后输出所有中位数。

一道例题：poj:3784 

分析：对顶堆做法，开两个堆，大根堆与小根堆，其中大根堆用来存排序后排名为1~n/2的数，小根堆用来存n/2+1~n的数。

那么维护好这两个堆，每次查询中位数只需要访问小根堆的堆顶即是中位数。

大根堆堆中的数字一定全部小于堆顶，小根堆堆中的数字一定全部大于等于堆顶，相当于排序后序列前一半的数字在大根堆，后一半在小根堆。

那么如何维护呢，我们需要解决两个问题：一是如何插入元素，向哪个堆插入；而是当某一个堆中的元素过多时，需要弹出元素，将其放入另一个堆中。

首先解决1：选择小根堆的堆顶元素作为分界点，比他小的元素都放到大根堆，比他大的放到小根堆。

其次解决2：:我们设q1,q2分别为大根堆，小根堆,n1,n2为大根堆元素个数，n2位小根堆元素个数，总元素个数为n。

那么不需要调整的情况：n2=n1+1;

    2.1：当n1>n2时 序列超过一半的元素在大根堆中，n2<floor(n*1.0/2)，那么此时排名在最中间的元素一定不在小根堆中，此时小根堆的堆顶元素不是中位数，故将大根堆的堆顶插入小根堆中。(参考序列 9 8 7 6 5 4)

    2.2：当n2-n1==3时 将小根堆堆顶插入大根堆，相当于平衡树失衡时的调整，(参考序列 1 2 3 4 5 6)。

上代码：

//大根堆存放排名1~m/2的元素,小根堆存放排名为m/2+1~m的元素;
priority_queue<int>q1;//大根堆;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q2;//小根堆;
int fen;//分界点;
int n1,n2;//大根堆,小根堆的元素个数;
vector<int>v;//存结果;

void init(){
    while(!q1.empty()) q1.pop();
    while(!q2.empty()) q2.pop();
    v.clear();
    n1=0,n2=0;
    fen=0;
}

void pushdown(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int x;
    scanf("%d",&x);
    fen=x;
    q2.push(x);
    v.push_back(x);
    for(int i=2;i<=n;++i){
        scanf("%d",&x);
        if(x>=fen){
            q2.push(x);
            ++n2;
        }
        else{
            q1.push(x);
            ++n1;
        }

        /*----------调整----------*/
        if(n1>n2){
            fen=q1.top();
            q1.pop();
            q2.push(fen);
            --n1;
            ++n2;
        }
        else if(n2-n1==3){
            q1.push(q2.top());
            ++n1;
            --n2;
            q2.pop();
            fen=q2.top();
        }

        if(i&1) v.push_back(q2.top());
    }

}

 

当然，中位数还有另一种解法，即线段树做法，记录区间和，每次更新一次新加入的节点，在找一下区间第(i+1)/2大数就是中位数。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=0x3f3f3f3f;

const int maxn=1e5+7;
int a[maxn];
int b[maxn];
int m;
vector<int> v;

void init(int n){
    sort(b,b+n);
    m=unique(b,b+n)-b;
}

int getid(int x){
    return lower_bound(b,b+m,x)-b;
}

int sum[maxn<<2|1];

void updata(int id,int l,int r,int k){
    if(l==r){
        ++sum[k];
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(id<=mid) updata(id,l,mid,k<<1);
    else updata(id,mid+1,r,k<<1|1);
    sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
}

int myfind(int summ,int l,int r,int k){
    if(l>r) return 0;
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(sum[k<<1]>=summ) return myfind(summ,l,mid,k<<1);
    else return myfind(summ-sum[k<<1],mid+1,r,k<<1|1);
    return 0;
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i]=a[i];
    }
    init(n);
    for(int i=0;i<n;++i){
        updata(getid(a[i]),0,m-1,1);
        if(!(i&1)){
            v.push_back(b[myfind((i+2)/2,0,m-1,1)]);
        }

    }
    for(int i=0;i<v.size();++i)
        printf("%d\n",v[i]);

    return 0;
}