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本文介绍了一种高效解决二维矩阵中合法子矩形面积查询问题的方法。通过预处理每种颜色的二维前缀和及以各点为中心的最大合法矩形长度，结合二维RMQ，实现对大量查询的快速响应。适用于竞赛编程和图像处理等领域。

题意：给定一个 $n * m, (1 < = n, m < = 500)$ 的只含有四种颜色标识的矩阵，定义合法矩阵为：
合法矩形
类似这样的四个块相同，且每个块内颜色一致，颜色分布位置也与之一致。
接下来有 $3 e 5$ 次询问，每次给出 $(r 1, c 1), (r 2, c 2)$ ，询问以 $(r 1, c 1)$ 为左上角， $(r 2, c 2)$ 为右下角的区域内最大的合法子矩形的面积是多少。

我的思路：
四个数组预处理出每种颜色的二维前缀和，然后处理出以 $(i, j)$ 为左上角的每个点可以形成的最大矩形，对于每个点二分长度，check即可。接下来对于询问我就不会做了。。。。降不下来复杂度。
于是参考了题解：
题解的做法也是对于每个点计算最大矩形面积，但他的val[i][j]表示的是以(i,j)为合法矩形最靠里的那个点围绕该点形成的最大矩形。
然后预处理二维RMQ。
接下来的mid指的是**合法矩形块（合法矩形拆成四个小块）**的长度
那这样的话，对于询问，可以二分合法矩形块的长度mid，如果查到范围在 $(r 1 + m i d - 1, c 1 + m i d - 1), (r 2 - m i d, c 2 - m i d)$ 内的最大值是大于等于4midmid则说明可能为答案。
因为预处理时处理出来的是最中心的点，故以该点为中心能构造出来的合法矩形的长度肯定在 $[0, v a l [i] [j]]$ 之间，故只要最大值满足大于等于4midmid，那么就说明肯定可以构造出来一个长度是mid的合法矩形。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=509;

//0 r 1 g 2 y 3 b;
int col[maxn][maxn][4];//前缀和;

char s[maxn][maxn];

bool check(int r1,int c1,int len,int i){
    int r2=r1+len-1,c2=c1+len-1;
    //cout<<r1<<" "<<c1<<" "<<r2<<" "<<c2<<" "<<col[r2][c2][i]-col[r1-1][c2][i]-col[r2][c1-1][i]+col[r1-1][c1-1][i]<<endl;
    return col[r2][c2][i]-col[r1-1][c2][i]-col[r2][c1-1][i]+col[r1-1][c1-1][i]==(r2-r1+1)*(c2-c1+1);
}

bool check(int i,int j,int len){
    int r1=i-len+1,c1=j-len+1;
    return check(i-len+1,j-len+1,len,0)&&check(i-len+1,j+1,len,1)&&check(i+1,j-len+1,len,2)&&check(i+1,j+1,len,3);
}
int val[maxn][maxn][11][11];//RMQ;

void init(int n,int m){
	int up1=log2(n)+1,up2=log2(m)+1;
	for(int l1=0;l1<up1;l1++){
		for(int l2=0;l2<up2;l2++){
			if(!l1&&!l2) continue;
			for(int i=1;(i+(1<<l1)-1)<=n;i++){
				for(int j=1;(j+(1<<l2)-1)<=m;j++){
					if(l2)val[i][j][l1][l2]=max(val[i][j][l1][l2-1],val[i][j+(1<<(l2-1))][l1][l2-1]);
					else val[i][j][l1][l2]=max(val[i][j][l1-1][l2],val[i+(1<<(l1-1))][j][l1-1][l2]);
                    //cout<<val[l1][l2][i][j]<<endl;
				}
			}
		}
	}

}

int ask(int x1,int y1,int x2,int y2){
	int p=log2(x2-x1+1),q=log2(y2-y1+1);
	int ans=0;
	ans=max(val[x1][y1][p][q],val[x1][y2-(1<<q)+1][p][q]);
	ans=max(ans,max(val[x2-(1<<p)+1][y1][p][q],val[x2-(1<<p)+1][y2-(1<<q)+1][p][q]));
	return ans;
}


int main(){
    int n,m,q,r1,c1,r2,c2;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%s",s[i]+1);
        for(int j=1;j<=m;++j)
            if(s[i][j]=='R') ++col[i][j][0];
            else if(s[i][j]=='G') ++col[i][j][1];
            else if(s[i][j]=='Y') ++col[i][j][2];
            else ++col[i][j][3];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            for(int k=0;k<4;++k)
                col[i][j][k]+=col[i-1][j][k]+col[i][j-1][k]-col[i-1][j-1][k];
    for(int i=1;i<n;++i)
        for(int j=1;j<m;++j){
            if(s[i][j]!='R') continue;
            int l=1,r=min(min(i,j),min(n-i,m-j)),mid;
            //cout<<i<<" "<<j<<" "<<l<<" "<<r<<endl;
            while(l<=r){
                mid=l+r>>1;
                if(check(i,j,mid)) l=mid+1;
                else r=mid-1;
            }
            val[i][j][0][0]=r*r*4;
            //cout<<val[i][j][0][0]<<endl;
        }
    init(n,m);
    while(q--){
        scanf("%d%d%d%d",&r1,&c1,&r2,&c2);
        int l=1,r=min(r2-r1+1,c2-c1+1)/2,mid;
        while(l<=r){
            mid=l+r>>1;
            if(ask(r1+mid-1,c1+mid-1,r2-mid,c2-mid)>=4*mid*mid) l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        printf("%d\n",r*r*4);
    }

    return 0;
}