【动态规划】最大正方形

问题描述

在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵内，找到只包含 1 的最大正方形，并返回其面积。

示例:

输入: 

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

输出: 4

思路解析

根据经验，一眼便看出这是一道 动态规划 题。我们用 dp[i][j] 表示以 matrix[i][j] 为右下角的最大全 1 正方形的边长，仔细思考，如何推得 dp[i][j] 的递推公式？

dp[i][j] 可以从三部分推得，首先是 dp[i-1][j-1]，然后是 matrix[i][j] 左边的连续 1 的个数，然后是 matrix[i][j] 上面连续 1 的个数，这三部分取最小值。于是我们可以维护三个数组，dp[i][j] 表示以 matrix[i][j] 为右下角的全 1 正方形的边长，a[i][j] 表示从 matrix[i][j] 往左的连续 1 的个数，b[i][j] 表示从 matrix[i][j] 往上的连续 1 的个数。

可以推得（注意边界值）：

if (matrix[i][j] === '1') {
  dp[i][j] = Math.min(i && j ? dp[i - 1][j - 1] : 0, j ? a[i][j - 1] : 0, i ? b[i - 1][j] : 0) + 1;
  a[i][j] = j ? a[i][j - 1] + 1 : 1;
  b[i][j] = i ? b[i - 1][j] + 1 : 1;

  ans = dp[i][j] > ans ? dp[i][j] : ans;
} else {
  dp[i][j] = a[i][j] = b[i][j] = 0;
}

当然这还不算完，继续优化。我们以 a 数组为例，其实 a 数组完全能用 dp 数组代替。

• 当 a[i][j-1] <= dp[i-1][j-1] 时，Math.min(dp[i-1][j-1], a[i][j-1]) 的结果就是 a[i][j-1]，也就是 dp[i][j-1]
• 当 a[i][j-1] > dp[i-1][j-1] 时，Math.min(dp[i-1][j-1], a[i][j-1]) 的结果就是 dp[i-1][j-1]

所以 Math.min(dp[i-1][j-1], a[i][j-1]) 的结果也就是 dp[i-1][j-1], dp[i][j-1])。数组 b 同理。

所以程序可以将转移方程优化为：

if (matrix[i][j] === '1') {
  dp[i][j] = Math.min(i && j ? dp[i - 1][j - 1] : 0, j ? dp[i][j - 1] : 0, i ? dp[i - 1][j] : 0) + 1;
  
  ans = dp[i][j] > ans ? dp[i][j] : ans;
} else {
  dp[i][j] = 0;
}

 

import java.lang.Math;

class Solution {
    public static int findMaxSquare(int[][] array) {
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            for (int j = 0; j < array[0].length; j++) {
                int cur = findSquare(array, i, j);
                array[i][j] = cur;
                max = Math.max(cur, max);
            }
        }

        return max * max;
    }

    public static int findSquare(int[][] array, int i, int j) {
        if(array[i][j] == 0){
            return 0;
        }
        if (i == 0 || j == 0) {
            return 1;
        }

        int min = Math.min(array[i - 1][j - 1], array[i - 1][j]);
        min = Math.min(min, array[i][j - 1]);
        return min + 1;
    }
}