Jacobi迭代法的python实现

最新推荐文章于 2025-05-26 00:00:00 发布

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#数值分析

本文介绍了如何使用Python实现Jacobi迭代法解决线性方程组Ax=b的问题。通过矩阵A的分解，将求解过程转化为迭代公式x(k+1)=Bx(k)+f。具体步骤包括设定初始值、迭代条件和误差限制，以达到求解线性方程组的目标。并提供了一个实际的例子，展示了如何应用该方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设有线性方程组Ax=b，其中n阶矩阵A=（aij）使非奇异矩阵
将A分解为A=M-N，因而Mx=Nx+b，求解Ax=b转化为求解x=M的逆Nx+M的逆b
可构造一阶梯定常迭代法x(k+1)=Bx(k)+f
令A=D-L-U，其中D是有A的主对角元组成的对角矩阵，L是A的下三角矩阵每一行乘以-1，U是A的上三角矩阵每一行乘以-1
Jacobi迭代法中，令M=D，A=D-N，因而B=M的逆N=M的逆（M-A）=D的逆*(L+U)
f=D的逆b
确定初值x0，开始迭代
若x最终收敛于x，则线性方程组有解x*，否则无解
确定需要的绝对误差限或相对误差限e，确定相应的迭代次数

下面给出一个例子
矩阵A
10.0 3.0 1.0
2.0 -10.0 3.0
1.0 3.0 10.0
b=(14.0,-5.0,14.0)’
要求绝对误差限e=0.00001即精确到小数点后5位
代码如下

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Feb 13 08:09:46 2019

@author: 鹰皇
"""

#jacobi迭代法
import numpy as np
A=[[10.0,3.0,1.0],[2.0,-10.0,3.0],[1.0,3.0,10.0]]
b=[[14.0,-5.0,14.0]]

def get_base(A):#获得一个基，在基上修改
    base=list(np.zeros((len(A),len(A))))
    D=[]
    for i in base:
        D.append(list(i))
    return D

def get_D(A):#获得对角矩阵D
    D=get_base(A)
    for i in A:
        D[A.index(i)][A.index(i)]=A[A.index(i)][A.index(i)]
    return D

def get_LU(A,D):#获得L+U
    AA=np.