Python实现雅可比迭代算法

Python实现雅可比迭代算法

雅可比迭代算法是一种常用的数值解法，可以用于解决各种复杂的线性方程组。本文将介绍如何使用Python实现雅可比迭代算法，并提供完整的源代码。

什么是雅可比迭代算法？

雅可比迭代算法是一种迭代求解线性方程组 Ax=b 的方法，其中A是一个n×n的矩阵，b是一个n维向量。算法的基本思想是将矩阵A分解为对角矩阵D和非对角矩阵L+U的形式，即 A=D-L-U，然后通过不断迭代来逼近方程的解x。

具体而言，每次迭代时，我们先将Ax=b中的每一个变量xi都设为上一轮迭代的结果，然后通过以下公式计算新的xi：

xi = (bi - Σ(aij * xj)， j!=i)/aii

其中aii是矩阵A的第i行第i列的元素，aij是矩阵A的第i行第j列的元素，而bi是向量b的第i个元素。

在实际应用中，通常需要根据误差大小来判断何时停止迭代。一种简单而有效的方法是计算当前迭代次数下方程的残量的二范数，如果残量的二范数小于某个阈值，则停止迭代。

Python实现雅可比迭代算法

接下来，我们使用Python实现雅可比迭代算法。首先，我们需要定义一个函数来判断当前解是否满足收敛条件：

import numpy as np

def is_converged