【向量空间】_二维向量空间-优快云博客

向量空间

先来看一下向量有哪些基本运算？

所谓向量空间，我们以二维实向量空间为例，我们将其记作 $R^2$

下面举一个反例，例如我们取 $R^2$ 的第一象限

虽然 $R^n$ 是一个向量空间，但我们往往更关注其子空间，那么我们能否在 $R^2$ 中寻找一个子空间呢？
在这里插入图片描述
如图所示，对于经过原点的任意一条直线来说，其都是一个向量空间

下面我们再来看如何通过矩阵构造向量空间

我们假设有矩阵 $A=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad3\\ 2\quad3\\ 4\quad1 \end{array} } \right]$
如果我们通过其列向量来构建向量空间，那么其必然是 $R^3$ 的子空间
它必须满足包含 $\left[ {\begin{array}{cc} 1\\ 2\\ 4 \end{array} } \right]和$ $\left[ {\begin{array}{cc} 3\\ 3\\ 1 \end{array} } \right]$ 的所有可能的线性组合而成的向量（最终的结果将是一个经过原点的平面）
我们称其为列空间，记作 $C (A)$

现在我们再考虑一个新的问题

接下来继续看列空间

假设有矩阵如下： $A=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad1\quad2\\ 3\quad1\quad3\\ 3\quad1\quad4\\ 4\quad1\quad5 \end{array} } \right]$
那么他的列空间将是 $R^4$ 的子空间，记作 $C (A)$
那么 $A$ 的所有列都包含于子空间内，并且 $A$ 所有列可能的线性组合构成了这个子空间
但是由3个基向量构成的向量空间肯定不是整个四维空间，那么它是什么呢？我们将其与线性方程组连接起来看

对于任意的 $b$ ， $A X = b$ 这个方程组一定有解吗？

这个答案肯定是否定的，因为我们有四个方程组，但却只有三个未知数
$AX=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad1\quad2\\ 3\quad1\quad3\\ 3\quad1\quad4\\ 4\quad1\quad5 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} b_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4 \end{array} } \right]$
虽然通常情况下，这个方程组是无解的，但有些情况下，这个方程组是有解得，让我们来看有解得情况
- 首先如果 $b$ 是0向量，那么该方程组一定有解
- 如果 $b$ 是三个列向量中的某一列也一定是有解的
- 进一步我们可以得到，只有当 $b$ 属于 $A$ 的列空间时，该方程才有解

但是现在有一个问题，我们能否去掉 $A$ 中的某一列，得到相同的线性空间？

我们继续看 $A$ 的零空间，它是一种完全不同的子空间

它将包含所有 $A X = 0$ 的解
$AX=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad1\quad2\\ 3\quad1\quad3\\ 3\quad1\quad4\\ 4\quad1\quad5 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array} } \right]$
对于这个简单的例子，我们一看就可以看出答案是 $\left[ {\begin{array}{cc} c\\ c\\ -c \end{array} } \right]$
这个子空间将是 $R^3$ 中的一条直线

那么我们为什么可以确定 $A X = 0$ 的解一定可以构成向量空间呢?

假设 $v 、 w$ 分别是 $A X = 0$ 的两个解，那么我们可以得到： $A v = 0, A w = 0$
按照向量空间的定义，我们只需要证明 $A (v + w) = 0$ 并且 $A(cv)=0(c\in R)$ 即可
- $A (v + w) = A v + A w = 0$
- $A (c v) = c A v = 0$
因此 $A X = 0$ 的解一定可以构成向量空间