卢卡斯（Lucas）定理

最新推荐文章于 2024-02-03 16:29:04 发布

cheng__yu_

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分类专栏：数论

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Lucas

Lucas定理

$C_n^m \mod p=C_{n/p}^{m/p} \times C_{n\mod p}^{m\mod p} \mod p$ ，p为素数

Lucas板子

int qpow(ll b,int n,int mod)
{
    int res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=1ll*res*b%mod;
        b=1ll*b*b%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int fac[maxn];
void init(int p)
{
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=p;++i)
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
}

int C(int n,int m,int p)
{
    if(m>n) return 0;
    return 1ll*fac[n]*qpow(1ll*fac[m]*fac[n-m]%p,p-2,p)%p;
}

int Lucas(ll n,ll m,int p)
{
    int ans=1;
    while(n&&m&&ans)
    {
        ans=1ll*ans*C(n%p,m%p,p)%p;
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ans;
}

组合数计算

取模时，需要注意 n < m 的情况，此时为 0

1、线性推逆元，在只需要初始化一次的时候使用比较好

const int N=5e5;
int fac[N+10],finv[N+10];
void init()
{
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;++i)
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    finv[N]=qpow(fac[N],mod-2,mod);
    for(int i=N-1;i>=0;--i)
        finv[i]=1ll*finv[i+1]*(i+1)%mod;
}

int C(int n,int m)
{
    return 1ll*fac[n]*finv[m]%mod*finv[n-m]%mod;
}

2、推出阶乘之后，用费尔马小定理计算逆元

int fac[maxn];
void init(int p)
{
	fac[0]=fac[1]=1;
	for(int i=2;i<=p;++i)
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
}

int C(int n,int m,int p)
{
	if(m>n) return 0;
	return 1ll*fac[n]*qpow(1ll*fac[m]*fac[n-m]%p,p-2,p)%p;
}

3、直接用组合式公式计算

ll C(ll a,ll b,ll p)
{
    if(a<b) return 0;
    if(a==b) return 1;
    if(b>a-b) b=a-b;
    ll ca=1,cb=1;
    for(int i=0;i<b;++i)
    {
        ca=(ca*(a-i))%p;
        cb=cb*(i+1)%p;
    }
    return ca*qpow(cb,p-2,p)%p;
}

4、不需要取模时，用杨辉三角

ll C[1000][1000];
void init()
{
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=500;++i)
	{
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		for(int j=1;j<=i-1;++j)
			C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
	}
}

Saving Beans HDU - 3037

在这里插入图片描述
链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=1e5+5;

int qpow(ll b,int n,int mod)
{
    int res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=1ll*res*b%mod;
        b=1ll*b*b%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int fac[maxn];
void init(int p)
{
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=p;++i)
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
}

int C(int n,int m,int p)
{
    if(m>n) return 0;
    return 1ll*fac[n]*qpow(1ll*fac[m]*fac[n-m]%p,p-2,p)%p;
}

int Lucas(ll n,ll m,int p)
{
    int ans=1;
    while(n&&m&&ans)
    {
        ans=1ll*ans*C(n%p,m%p,p)%p;
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ans;
}
int t,n,m,p;

int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
        init(p);
        printf("%d\n",Lucas(n+m,m,p));
    }
    return 0;
}