特殊的组合问题(基础部分)

特殊的组合问题(基础部分)

设a(n)=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)

先采用差分方程的角度来看：

a(n-1)=C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1)

Go

a(n)-a(n-1)=C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-2) +C(n,n)

Go

a(n)-a(n-1)=C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-2) +C(n-1,n-1)

Go

a(n)-a(n-1)=a(n-1)

GO

a(n)=2*a(n-1)

又因为a(1)=C(1,0)+C(1,1)=2

所以a(n)=2^n

 

 

 

 

下面写程序来证明：

(defun pow (num count)

(if (or (> count 1) (eq  count  1) )

      (* num 

         (pow num 

              (- count 1) ) )

      1))

 

(defun slayerex (num count)

(if (or (> count 1) (eq  count  1) )

      (* num 

         (slayerex  

                 (1- num)

                 (- count 1) ) )

      1))

 

(defun slayer ( count)

(if (or (> count 1) (eq  count  1) )

      (* count 

         (slayer  

              (- count 1) ) )

      1))

 

 

 

(defun  expr (init  n)

(if (eq  n 0)

       1

     (+   (expr init  (1- n) )

          (/     (slayerex  init  n)

                 (slayer    n)))))

 

 

 

 

(defun  test (n)

(if (> n 0)

  (progn 

       (print (expr   n  n))

       (print  'compare)

       (print  (pow  2  n))

       (test (- n 1)))

  (print 'over)))

 

(test  100)