AK F.*ing leetcode 流浪计划之欧拉筛选素数

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素数筛选

素数筛选的基本过程就是从小到大遍历数字，如果之前没有被标记过，就是素数。然后拿当前遍历数字的倍数去标记成合数。效率的核心就是如何拿已经遍历过的数字去筛选掉合数。

简单倍数法

bool isPrime[100000010] = {
    0 };
//isPrime[i] == 1表示：i是素数
int Prime[6000010], cnt = 0;
//Prime存质数

void simplePrime(int n) {
   
	cnt = 0;
	memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
	isPrime[1] = 0;
	for (lld i = 2; i <= n; ++i) {
   
		if (isPrime[i]) Prime[cnt++] = i;
		for (lld j = 2; j*i<=n; ++j) {
   
			isPrime[i*j] = 0;
		}
	}
}

利用素数优化步长

上述算法中里面一层循环会对同一个合数筛选多次。
比如n=20;

i	i*j
2	4,6,8,10,12,14,16,18,20
3	6,9,12,15,18
4	8,12,16,20
5	10,15,20
6	12,18
7	14
8	16
9	18
10	20

i超过10以后就没有筛选到合数了。
上面表格中有很多重复的合数。
可以减少j的枚举量来优化。

我们知道一个合数x肯定可以拆解成一个素数m乘以另一个数p.
$x=m\ast p(其m是素数，m<=\sqrt{n},p>1)$
所以，j可以只枚举已经得到的素数。

void simplePrime(int n) {
   
	cnt = 0;
	memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
	isPrime[1] = 0;
	for (lld i = 2; i <= n; ++i) {
   
		if (isPrime[i]) Prime[cnt++] = i;
		// 只枚举已知的素数
		for (int j = 0; j < cnt && 1LL * i * Prime[j] <= n;++j) {
   
			isPrime[1LL * i * Prime[j]] = 0;
		}
	}
}

欧拉筛思路

再次对上述算法进行模拟
n=20;

i	i*Prime[j]
2	4
3	6,9
4	8,12
5	10,15
6	12,18
7	14
8	16
9	18
10	20

这次改进后，筛选合数的次数比直接倍数法减少了很多，但是还有重复筛选，一旦数量多了以后也会影响时间复杂度。

上述算法会导致重复的原因如下：
设 x = p 0 s 0 ⋅ p 1 s 1 . . . p n s n , p i 为质数，那么 x 就有可能被每个质数筛选到 设x=p_0^{s_0}\cdot p_1^{s_1}...p_n^{s_n}, p_i为质数，那么x就有可能被每个质数筛选到 设x=p