P1049 装箱问题（01背包）

最新推荐文章于 2025-07-23 19:40:46 发布

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本文介绍了一种解决背包问题的方法，通过将物品的体积作为价值，转换为求最大可装重量的问题。使用动态规划算法，实现了在给定箱子容量和物品体积的情况下，求得最小剩余空间的解决方案。

滴答滴答---题目链接

题目描述

有一个箱子容量为VV（正整数，0 \le V \le 200000≤V≤20000），同时有nn个物品（0<n \le 300<n≤30，每个物品有一个体积（正整数）。

要求nn个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

输入输出格式

输入格式：

11个整数，表示箱子容量

11个整数，表示有nn个物品

接下来nn行，分别表示这nn个物品的各自体积

输出格式：

11个整数，表示箱子剩余空间。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1：复制

说明

NOIp2001普及组第4题

这道题看似是搜索，但是可以用背包做。

题目要求求出最小的剩余空间，也就是要求出最大的可装重量

这样，我们可以将一个物体的重量当作它的价值，进而将题目转变为一个基本的01背包问题：

有一个箱子容量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有n个物品（0＜n＜＝30），每个物品有一个体积（正整数）和一个价值（等于体积）。

要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使总价值最大。

对于每一个物体，都有两种状态：装与不装

那么，对于任意重量m的最大价值 f (m) = max ( f ( m - w[i] ) + w[i], f (m) )（w为重量（即价值））

其中，f ( m - w[i] ) 指在装了物品i后，箱子的剩余容量能装的最大重量

f ( m - w[i] ) + w[i] 指在在装了物品i后，箱子能装的最大重量

程序如下

例1： 输入：

5 1 1 假如在遍历容量m时从小到大遍历，你会发现:

f (2) = f (2 - 1) + w[1] = f (1) +w[1] = 2
f (3) = ... = 3
f (4) = 4
f (5) = 5
最后的答案就是5-5=0，然而正解是5-1=4

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int N=200007;
int dp[N];
int a[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>w[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=m; j>=w[i]; j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+w[i]);
        }
    cout<<m-dp[m]<<endl;
    return 0;
}