欧拉筛(线性筛)模板

  • 如果目标是筛选出 小于 n 的所有素数,那么 i * prime[j] < n 是正确的。
  • 如果目标是筛选出 小于等于 n 的所有素数,那么 i * prime[j] <= n 是正确的。

         第九行中判断条件

void solve(int n) {
    vector<bool> isprime(n + 1, true);//isprime[i]表示第i个数是否为素数
    vector<int> prime;//存放的素数
    isprime[1] = false;//1不是素数,先将1置为false
    for (int i = 2; i < n; i++)
    {
        //如果i为素数,则将其添加到prime当中
        if (isprime[i]) prime.push_back(i);
        for (int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] <= n; j++)
        {
            //不是质数则为false
            isprime[i * prime[j]] = false;

            //退出条件
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }

    int cnt = prime.size();
}

欧拉线性筛法不仅可用于选素数,还能计算其他与素数相关的数论函数,如欧拉函数φ(x)(表示小于x的、与x互质的数的个数)、1 - n之间每个数的因子个数、1 - n之间每个数的因数和等,在数学领域素数查找和相关数论问题研究,以及计算机科学领域的密码学等方面有广泛应用 [^1][^3]。 以下是几种不同应用场景下C++实现欧拉线性筛的代码示例: ### 选素数 ```cpp #include <vector> #include <iostream> using namespace std; void EulerSieve(int n) { vector<bool> isprime(n + 1, true); vector<int> prime; isprime[1] = false; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (isprime[i]) { prime.push_back(i); } for (int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] <= n; j++) { isprime[i * prime[j]] = false; if (i % prime[j] == 0) break; } } // 输出素数 for (int p : prime) { cout << p << " "; } } int main() { int n = 100; EulerSieve(n); return 0; } ``` 此代码通过欧拉法找出1到n之间的所有素数并输出 [^1]。 ### 线性筛法求欧拉函数 ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int primes[N], phi[N], cnt; bool state[N]; void get_eulers(int& n) { phi[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++) { if(state[i] == false) { primes[cnt++] = i; phi[i] = i - 1; } for(int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) { state[i * primes[j]] = true; if(i % primes[j] == 0) { phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j]; break; } phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1); } } } int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); get_eulers(n); long long ans = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) ans += phi[i]; cout << ans << endl; return 0; } ``` 该代码利用欧拉法计算1到n的欧拉函数,并将结果累加输出 [^2]。 ### 针对洛谷P3383 【模板线性筛素数的代码 ```cpp #include <cstdio> #define fi(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i) #define fd(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i) using namespace std; const int N=1e8+5; int n,m; int x; int prime[N],tot; bool vis[N]; template<typename T>void Read(T &x) { x=0;T k=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') k=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();} x*=k; } template<typename T>void Print(T x) { if(x<0){putchar('-');Print(-x);} if(x>9) Print(x/10); putchar((x%10)^48); } int main (void) { Read(n); Read(m); fi(i,2,n) { if(!vis[i]) prime[++tot]=i; for(int j=1;j<=tot&&i<=n/prime[j];++j) { vis[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0) break; } } while(m--) { Read(x); Print(prime[x]);putchar(10); } return 0; } ``` 此代码可选1到n的素数,并回答m个询问 [^4]。 ### 欧拉线性筛模板 ```cpp #include <vector> void solve(int n) { vector<bool> isprime(n + 1, true); vector<int> prime; isprime[1] = false; for (int i = 2; i < n; i++) { if (isprime[i]) prime.push_back(i); for (int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] <= n; j++) { isprime[i * prime[j]] = false; if (i % prime[j] == 0) break; } } int cnt = prime.size(); } ``` 这是一个基本的欧拉模板,用于标记1到n之间的素数 [^5]。
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