前几天周赛一道题考到了排列组合,不过只会暴力求解,答案肯定是超时的,然后学习了一下快速幂求排列组合,并作出了一点优化。
这种方法的优势是 减少了多次调用快速幂 的次数,只需调用一次快速幂计算最大的阶乘逆元即可,其余通过递推计算完成。
只需调用一次快速幂。
常规快速幂排列组合可以看其他博主的文章,在此不做赘述。常规时间复杂度:O(n⋅log(mod))
时间复杂度:O(n) 递推 + 1 次快速幂 (O(log(mod)))
这种方法最终保证了 infac[i]
是模意义下的阶乘逆元,因此在功能和结果和常规的上是一致的。
然后注意点是要知道mod不是任意值,mod必须是素数,然后要比a,b大。
代码展示如下:
#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;
int fac[10001]; // 阶乘数组
int infac[10001]; // 阶乘逆元数组
// 快速幂计算 (a^b) % mod
int qmi(int a, int b) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = res * a % mod; // 若b为奇数
a = a * a % mod;
b >>= 1;// 相当于b除等2
}
return res;
}
signed main() {
// 初始化阶乘和阶乘逆元
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= 10000; i++) {
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
}
// 使用费马小定理计算阶乘逆元
// 这种方式只调用了一次快速幂,优势在此
infac[10000] = qmi(fac[10000], mod - 2);
for (int i = 9999; i >= 0; i--) {
infac[i] = infac[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
// 计算 C(7, 3)
int n = 7, r = 3;
int k = fac[n] * infac[r] % mod * infac[n - r] % mod;
cout << k << endl; // 输出组合数
return 0;
}
再加一句话以防忘记,调用qmi少时可以直接用
infac[i] = qmi(fac[i], mod - 2);
这个公式求逆元