优化快速幂求排列组合

前几天周赛一道题考到了排列组合，不过只会暴力求解，答案肯定是超时的，然后学习了一下快速幂求排列组合，并作出了一点优化。

这种方法的优势是 减少了多次调用快速幂 的次数，只需调用一次快速幂计算最大的阶乘逆元即可，其余通过递推计算完成。

只需调用一次快速幂。

常规快速幂排列组合可以看其他博主的文章，在此不做赘述。常规时间复杂度：O(n⋅log(mod))

时间复杂度：O(n) 递推 + 1 次快速幂 (O(log⁡(mod)))

这种方法最终保证了 infac[i] 是模意义下的阶乘逆元，因此在功能和结果和常规的上是一致的。

然后注意点是要知道mod不是任意值，mod必须是素数，然后要比a，b大。

代码展示如下：

#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;

int fac[10001];     // 阶乘数组
int infac[10001];   // 阶乘逆元数组

// 快速幂计算 (a^b) % mod
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod; // 若b为奇数
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;// 相当于b除等2
    }
    return res;
}

signed main() {
    // 初始化阶乘和阶乘逆元
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 10000; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    }

    // 使用费马小定理计算阶乘逆元
    // 这种方式只调用了一次快速幂，优势在此
    infac[10000] = qmi(fac[10000], mod - 2);
    for (int i = 9999; i >= 0; i--) {
        infac[i] = infac[i + 1] * (i + 1) % mod;
    }

    // 计算 C(7, 3)
    int n = 7, r = 3;
    int k = fac[n] * infac[r] % mod * infac[n - r] % mod;

    cout << k << endl;  // 输出组合数
    return 0;
}

再加一句话以防忘记，调用qmi少时可以直接用

infac[i] = qmi(fac[i], mod - 2); 

这个公式求逆元