算法导论12.1什么是二叉搜索树 练习总结

12.1-1 对于关键字集合 { 1,4,5,10,16,17,21 }，分别画出高度为2、3、4、5 和 6 的二叉搜索树。

ANSWER：

12.1-2 二叉搜索树性质与最小堆性质（见 6.1 节）之间有什么不同？能使用最小堆性质在 O( n ) 时间内按序输出一颗有 n 个结点的关键字吗？可以的话，请说明如何做，否则解释理由。

ANSWER：

① 最小堆只是根结点比儿子的关键字小，不能直接通过遍历得到排序结果。二叉搜索树可以通过中序遍历得到升序排序。

② 不能在 O( n ) 时间内按序输出，因为最小堆提取根结点后需要用 O( lgn ) 时间维持最小堆的性质。而且基于比较的排序算法下限 O( nlgn )。

12.1-3 设计一个执行中序遍历的非递归算法。（提示：一种容易的方法是使用栈作为辅助数据结构；另一种较复杂但比较简洁的做法是不使用栈，但要假设能测试两个指针是否相等。）

ANSWER：

void inorder(TreeNode *root) { 
    TreeNode *x = root;
    vector<TreeNode *> p;
    while(x != NULL || p.size() != 0){
        while(x != NULL){
            p.push_back(x);
            x = x->left;
        }
        x = p.back();
        p.pop_back();
        cout << x->val << endl;
        x = x->right;
    }
}

更多关于遍历问题请看： http://blog.youkuaiyun.com/chan15/article/details/48738125

12.1-4 对于一课有 n 个结点的树，请设计在 Θ( n ) 时间内完成的先序遍历算法和后序遍历算法。

ANSWER：

void inorder(TreeNode *root){
    if (root != NULL){
        inorder(root->left);
        cout << root->val << endl;
        inorder(root->right);
    }
}

void postorder (TreeNode *root){
    if (root != NULL){
        postorder (root->left);
        postorder (root->right);
        cout << root->val << endl;
    }
}

更多关于遍历问题请看： http://blog.youkuaiyun.com/chan15/article/details/48738125

12.1-5 因为在基于比较的排序模型中，完成 n 个元素的排序，其最坏情况下需要 Ω( nlgn ) 时间。试证明：任何基于比较的算法从 n 个元素的任意序列中构造一棵二叉搜索树，其最坏情况下需要 Ω( nlgn ) 的时间。

ANSWER：

反证法：假设构造一棵二叉搜索树的最坏情况的时间 T( n ) < c1nlgn，而中序遍历二叉搜索树只需要 Θ( n ) 的时间，所以通过构造二叉搜索树的比较排序时间为 T( n ) + O( n ) < c2nlgn，与基于排序模型中，n 个元素的排序最坏情况的 Ω( nlgn ) 时间矛盾。假设不成立。得证