Python数值计算（31）——梯形积分公式

 1. 背景知识

梯形积分公式其实和矩形积分公式类似，只是前面在采用矩形积分公式时，使用的是中点处的纵坐标作为矩形的高，而在梯形积分公式中，使用的是边界上两个点的高度，作为直角梯形的上底和下底，然后横坐标的差作为梯形的高，其近视积分为：

可以看到，如果对于线性函数，这种算法是精确的。

2. 梯形积分

实现如下：

def trapezoidal(f,a,b):
    """
    Trapezoidal rule for 
    numerical integration of f(x) from a to b.
    """
    return (b-a)*(f(a)+f(b))/2

如果使用humps函数在上对积分进行近似，结果如下图所示：  

这个误差太大了，基本上只有实际积分值的一半。

3. 复合梯形积分

为了解决上述问题，还可以和前面的复合矩形积分法则类似，将一个大的区间分成多个等距的小区间，然后，在每个小区间内使用梯形法则，显然对于具有(N+1)个等分点的区间，其公式为：

实现算法为：

def comp_trapezoidal(f,a,b,N):
    x=np.linspace(a,b,N)
    h=x[1]-x[0]
    y=np.vectorize(f)(x)
    return h*sum(y[1:-1])+h/2*(y[0]+y[-1])

 将区间等分为N个点的数值积分效果如下：

可见随着划分次数的增加，其误差也在逐渐缩小。 

PS：大家程序员节快乐。