Python数值计算（22）——akima插值

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已于 2024-08-11 14:41:28 修改 · 1.7k 阅读

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#python #numpy #开发语言 #scipy

于 2024-08-11 14:33:36 首次发布

前面介绍到的很多插值算法，在多项式阶次较高时，都会存在龙格现象，最直观的表现就是导数的变化很急剧，所以一般采用的方式是使用分段的三次插值，例如前面介绍到的三次样条曲线，这里再介绍Akima插值算法，通过该方法生成的插值曲线，具有更加平滑的特性。

1. 一点数学知识

该算法最初由Hiroshi Akima在1970年提出，论文名称是《A new method of interpolation and smooth curve fitting based on local procedures》，传送门在这里。

Aikma插值法规定在两个实测点之间进行内插,除需要用到这两个实测值外，还要用这两个点相近邻的四个实测点上的观测值，也就是说在两个实测点之间进行内插共需六个实测点。Akima方法和其他拟合方法类似，假设需要拟合的一组数据点是 $(x_i,y_i)$ ，其中 $i=0,1,2,...,n$ ，需要确定的就是 $y=f(x)$ 的多项式，具有连续的一阶导数，在任意相邻数据点之间使用阶次最高为3的多项式。

与样条曲线类似，可用方程如下：

$\left\{\begin{matrix} y_i=f(x_i)\\ y_{i+1}=f(x_{i+1})\\ y'_i=t_i\\ y'_{i+1}=t_{i+1} \end{matrix}\right.$

上述公式可以唯一的确定一个三次多项式，问题的关键是如何得到后面两个方程中的 $t_i,t_{i+1}$ 。

如果只取六个点 $(x_i,y_i)$ ，其中 $i=1,2,3,4,5,6$ ，插值点位于第3,4个点之间，即

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