单应性(homography)变换的公式推导过程

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矩阵的一个重要作用是将空间中的点变换到另一个空间中。这个作用在国内的《线性代数》教学中基本没有介绍。要能形像地理解这一作用，比较直观的方法就是图像变换，图像变换的方法很多，单应性变换是其中一种方法，单应性变换会涉及到单应性矩阵。单应性变换的目标是通过给定的几个点（通常是4对点）来得到单应性矩阵。下面单应性矩阵的推导过程。

H=⎡⎣⎢h11h21h31h12h22h32h13h23h33⎤⎦⎥ H=[h11h12h13h21h22h23h31h32h33]

矩阵 H H会将一幅图像上的一个点的坐标 a=(x,y,1) a=(x,y,1)映射成另一幅图像上的点的坐标 b=(x1,y1,1) b=(x1,y1,1)，也就是说，我们已知 a a和 b b，它们是在同一平面上。 则有下面的公式：

b=HaT(1) (1)b=HaT

即：

⎧⎩⎨x1=h11x+h12y+h13y1=h21x+h22y+h231=h31x+h32y+h33(2) (2){x1=h11x+h12y+h13y1=h21x+h22y+h231=h31x+h32y+h33

由上面这个公式中的 1=h31x+h32y+h33 1=h31x+h32y+h33可得到下面两个等式

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1=x11=h11x+h12y+h13h31x+h32y+h33y1=y11=h21x+h22y+h23h31x+h32y+h33(3) (3){x1=x11=h11x+h12y+h13h31x+h32y+h33y1=y11=h21x+h22y+h23h31x+h32y+h33

⇒ ⇒

{h11x+h12y+h13=h31xx1+h32yx1+h33x1h21x+h22y+h23=h31xy1+h32yy1+h33y1(4) (4){h11x+h12y+h13=h31xx1+h32yx1+h33x1h21x+h22y+h23=h31xy1+h32yy1+h33y1

⇒ ⇒

{0=h31xx1+h32yx1+h33x1−(h11x+h12y+h13)0=h31xy1+h32yy1+h33y1−(h21x+h22y+h23)(5) (5){0=h31xx1+h32yx1+h33x1−(h11x+h12y+h13)0=h31xy1+h32yy1+h33y1−(h21x+h22y+h23)

对于方程 (???) (???) ，可写成一个矩阵与一个向量相乘，即：

[−x0−y0−100−x0−y0−1xx1xy1yx1yy1x1y1]h=0(6) (6)[−x−y−1000xx1yx1x1000−x−y−1xy1yy1y1]h=0

其中， h=[h11,h12,h13,h21,h22,h23,h31,h32,h33]T h=[h11,h12,h13,h21,h22,h23,h31,h32,h33]T，是一个9维的列向量。若令:

A=[−x0−y0−100−x0−y0−1xx1xy1yx1yy1x1y1](7) (7)A=[−x−y−1000xx1yx1x1000−x−y−1xy1yy1y1]

则 (6) (6)可以记为

Ah=0(8) (8)Ah=0

这里的 A∈R2×9 A∈R2×9。这只是1对点所得到的矩阵 A A，若有4对点，则得到的矩阵 A∈R8×9 A∈R8×9。如何求解向量 h h呢？方法很简单，真接对 A A进行SVD分解，即

U∗Σ∗VT(9) (9)U∗Σ∗VT

然后取 V V的最后一列出来作为求解 h h。因为矩阵 A A是行满秩，即只有一个自由度。
具体实现时，先要得到两幅图，然后在两幅图之间找到4对点的坐标，由此得到矩阵 A A，然后在matlab中可以这样实现:

[U,S,V]=svd(A);

h=V(:,9);

H= reshape(h,3,3);

由单应性矩阵可以得到仿射变换，还可以在单应性矩阵上做图像拼接。