[NOIP2001 普及组] 数的计算（递归与递推）

[NOIP2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出自然数 $n$，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数字 $n$ 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个自然数，但是这个自然数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 $a,b$ 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 $i\le |a|$，使得 $a_i\ne b_i$。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• $6$
• $6,1$
• $6,2$
• $6,3$
• $6,2,1$
• $6,3,1$

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 10^3$。

说明

本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：

我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数 $n$）。

先输入一个正整数 $n$（$n\le 1000$），然后对此正整数按照如下方法进行处理：

1. 不作任何处理；
2. 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
3. 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。

感谢 @dbxxx 对本题情况的反馈，原题面的问题见本贴。

题解：

通过分析，就得到了规律。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int  v[10000];
int div2(int n)
{
//说明已经算好了 
	if(v[n]>0)
	{
		return v[n];
	}
	
//说明没有算好 
	//这里是把每次都要加的1包含上。也就是本身算一个。
	v[n]=1;
	
	//为什么要从大到小循环？
	//是为了提高效率，减少计算次数。
	//较大数由较小数组成，先把较大数算完后，较小数自然也算出来了。
    for(int i=n/2;i>0;--i)
    {
    	v[n]+=div2(i);
	
	}
	
	return v[n];
}
int main()
{
	int n;
	memset(v,0,sizeof(v));
	cin>>n;
	v[1]=1;
	div2(n); 
	cout<<v[n]<<endl;
	
	return 0;
}