计算机图形学-算法总结

计算机图形学-算法总结

一、直线转换

1、DDA算法

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Δ y = y n − y 0 Δ x = x n − x 0 ε = 1 m a x ( ∣ Δ x ∣ , ∣ Δ y ∣ ) \Delta y=y_n-y_0 \\ \Delta x=x_n-x_0\\ \varepsilon=\frac{1}{max(|\Delta x|,|\Delta y|)} Δy=yny0Δx=xnx0ε=max(Δx,Δy)1
把区间分成 M a x ( ∣ Δ x ∣ , ∣ Δ y ∣ ) Max(|\Delta x|,|\Delta y|) Max(Δx,Δy)个,需要循环这么多次。

每次算出的x,y都需要+0.5,进行向下取整运算。(因为在显示屏上,都是整数,没有小数)。

int x0,y0,xn,yn;
cin>>x0>>y0>>xn>>yn;

double k,x=x0,y=y0;
int dx=xn-x0;
int dy=yn-y0;
k=max(dx,dy);

for(int i=0;i<k;i++){
cout<<x<<" "<<y<<" ";
    x+=(dx/k);
    y+=(dy/k);
 //进行取整运算
    x=int(x+0.5);
    y=int(y+0.5);
}


2、中点法

假设,最大位移方向为x方向,直线方程如下图所示。

在这里插入图片描述

假设,红色点是我们现在位置,那么我们下一步,只能是走到蓝色点或者紫色点。紫色点 ( x + 1 , y ) (x+1,y) (x+1,y),蓝色点 ( x + 1 , y + 1 ) (x+1,y+1) (x+1,y+1)。把紫色与蓝色中间的坐标 ( x + 1 , y + 0.5 ) (x+1,y+0.5) (x+1,y+0.5)带入,再得解ym,判断ym的大小,ym>=0,下一个点为紫色点,否则为蓝色点。就这样算下去,直到结束。
y m > = 0 时 , y m i + 1 = y m i + 1 − k y m < 0 时 , y m i + 1 = y m i − k y m 0 = 0.5 − k 用 2 Δ x y m i 替 换 y m i y m > = 0 , y m = y m + 2 Δ x − 2 Δ y y m < 0 , y m = y m − 2 Δ y ym>=0时,ym_{i+1}=ym_i+1-k\\ ym<0时,ym_{i+1}=ym_i-k\\ ym_0=0.5-k\\ 用2\Delta x ym_i 替换ym_i\\ ym>=0, ym=ym+2\Delta x-2\Delta y\\ ym<0,ym=ym-2\Delta y ym>=0ymi+1=ymi+1kym<0ymi+1=ymikym0=0.5k2Δxymiymiym>=0,ym=ym+2Δx2Δyym<0,ym=ym2Δy

int dx,dy,d,up,dow,x,y;
if(x0>xn){ //说明是第三象限
    //交换一下x0与xn即可,
    x=xn;
    xn=x0;
    x0=xn;
    
    y=yn;
    yn=y0;
    y0=y;  
}
dx=xn-x0;
dy=yn-y0;
x=x0;
y=y0;

d=dx-2*dy;
up=2*dx-2*dy;
dow=-2*dy;

//进行打印点
while(x<=xn){
    cout<<x<<y<<" ";
    ++x;
    if(d<0){  //说明是蓝色点
        ++y;
        d+=up;
    }else{  //说明是紫色点
        d+=dow;
    }
}

3、Bresenhan算法

这个算法是对中点法的优化。令e= y m i − 0.5 ym_i-0.5 ymi0.5,如果 e > 0 e>0 e>0说明下一个坐标是 ( x + 1 , y + 1 ) (x+1,y+1) (x+1,y+1)否则就是 ( x + 1 , y ) (x+1,y) (x+1,y)。为了除去小数(0.5),用2e Δ x \Delta x Δx来替换e。
e i + 1 = { e i + 2 Δ y − 2 Δ x e i > 0 e i + 2 Δ y e i ≤ 0 e 的 初 始 值 为 − Δ x e_{i+1}=\begin{cases} e_i +2\Delta y -2\Delta x & e_i>0\\ e_i + 2\Delta y& e_i\leq 0 \end{cases}\\ e的初始值为-\Delta x ei+1={ei+2Δy2Δxei+2Δyei>0ei0eΔx

int x,y,dx,dy,e;
dx=xn-x0;
dy=yn-y0;
e=-dx;
x=x0;y=y0;
while(x<=xn){
    cout<<x<<" "<<y<<" ";
    x++;
    e+=2*dy;
    if(e>0){
        y++;
        e-=2*dx;
    }
}

二、圆

1、中点Bresenham画圆算法

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-F34ubybT-1669624453863)(D:\Photo\typora-user-images\image-20221128134831896.png)]

对于圆心不在原点的圆,可以通过平移,让它圆心变成原点。

由图可知,圆有4条对称轴,把圆分成了完全相同的8个圆,我们只需要画出1/8,就能画出完整的圆。

假设圆的方程
x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2\\ x2+y2=R2
构造函数 F ( x , y ) = x 2 + y 2 − R 2 F(x,y)=x^2+y^2-R^2 F(x,y)=x2+y2R2,

  1. 对于圆上的点 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0
  2. 圆外的点 F ( x , y ) > 0 F(x,y)>0 F(x,y)>0
  3. 圆内的点 F ( x , y ) < 0 F(x,y)<0 F(x,y)<0

在这里插入图片描述

对于下一个点,在 ( x + 1 , y ) , ( x + 1 , y − 1 ) (x+1,y),(x+1,y-1) (x+1y),(x+1,y1)里面选一个,通过中点 ( x + 1 , y + 0.5 ) (x+1,y+0.5) (x+1,y+0.5)的符合判断选择哪一个。
d i = F ( x + 1 , y + 0.5 ) > 0 , 选 择 ( x + 1 , y − 1 ) ; d i = F ( x + 1 , y + 0.5 ) ≤ 0 , 选 择 ( x + 1 , y ) ; d_i=F(x+1,y+0.5)>0,选择(x+1,y-1);\\ d_i=F(x+1,y+0.5)\leq0,选择(x+1,y);\\ di=F(x+1,y+0.5)>0,(x+1,y1);di=F(x+1,y+0.5)0,(x+1,y);

d i + 1 = { d i + 2 x i + 3 , d < 0 d i + 2 ( x i − y i ) + 5 , d ≥ 0 d 初 始 值 为 1 − R d_{i+1}= \begin{cases} d_i+2x_i+3,&d<0\\ d_i+2(x_i-y_i)+5, &d \geq 0\\ \end{cases}\\ d初始值为1-R di+1={di+2xi+3,di+2(xiyi)+5,d<0d0d1R

int x,y,d;
x=0;
y=r;
d=1-r;
while(x<=r){
    cout<<x<<y<<" ";
    if(d<0){
        d+=2*x+3;
    }else{
        --y;
        d+=2(x-y)+5;
    }
    ++x;
}

2、椭圆的中点Bresenham算法

椭圆方程
F ( x , y ) = b 2 x 2 + a 2 y 2 − a 2 b 2 = 0 F(x,y)=b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0 F(x,y)=b2x2+a2y2a2b2=0
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-SLyPx7Qm-1669624453865)(D:\Photo\typora-user-images\image-20221128154320607.png)]

由图可知,椭圆关于y=0,x=0对称,把椭圆分成了4个完全相等的部分。我们只需要画出1/4个即可,再利用对称性,就可画出全部。

把第一象限的椭圆分成2部分,如绿色和翠绿色,绿色最大位移方向为x方向,翠绿色最大位移方向为y方向。采用中点来判断下一个点在哪。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MLca1SxD-1669624453866)(D:\Photo\typora-user-images\image-20221128154707760.png)]

上部分(绿色),下一个点是 ( x + 1 , y ) 或 者 ( x + 1 , y − 1 ) (x+1,y)或者(x+1,y-1) (x+1,y)(x+1,y1).

下部分(翠绿色),下一个点是 ( x , y − 1 ) 或 者 ( x + 1 , y − 1 ) (x,y-1)或者(x+1,y-1) (x,y1)(x+1,y1)
构 造 判 别 式 d i = F ( x + 1 , y + 0.5 ) 构造判别式 d_i=F(x+1,y+0.5) di=F(x+1,y+0.5)
上部分

d i + 1 = { d i + b 2 ( 2 x i + 3 ) , d < 0 d i + b 2 ( 2 x i + 3 ) + a 2 ( − 2 y i + 2 ) , d ≥ 0 d_{i+1}= \begin{cases} d_i+b^2(2x_i+3),&d<0\\ d_i+b^2(2x_i+3)+a^2(-2y_i+2), &d \geq 0 \end{cases}\\ di+1={di+b2(2xi+3),di+b2(2xi+3)+a2(2yi+2),d<0d0
d 初 始 值 为 b 2 + a 2 ( − b + 0.25 ) d初始值为b^2+a^2(-b+0.25) db2+a2(b+0.25)
下部分
d i + 1 = { d i + b 2 ( 2 x i + 2 ) + a 2 ( − 2 y i + 3 ) , d < 0 d i + a 2 ( − 2 y i + 3 ) , d ≥ 0 d_{i+1}= \begin{cases} d_i+b^2(2x_i+2)+a^2(-2y_i+3),&d<0 \\ d_i+a^2(-2y_i+3), &d \geq 0\\ \end{cases} di+1={di+b2(2xi+2)+a2(2yi+3),di+a2(2yi+3),d<0d0
d 初 始 值 为 b 2 ( x + 0.5 ) 2 + a 2 ( y − 1 ) 2 − a 2 b 2 d初始值为b^2 (x+0.5 )^2+a ^2 (y-1) ^2 - a ^2 b^2 db2(x+0.5)2+a2(y1)2a2b2

int x,y;
double d1,d2;
x=0;
y=b;
d1=b*b+a*a*(-b+0.25);
cout<<x<<y<<" ";
cout<<-x<<-y<<" ";
cout<<-x<<y<<" ";
cout<<x<<-y<<" ";

//上半部分
while(b*b*(x+1)<a*a*(y-0.5)){
    if(d1<=0){
        d1+=b*b*(2*x+3);
        ++x;
    }else{
        d1+=b*b*(2*x+3)+a*a*(-2*y+2);
        ++x;
        --y;
    }
cout<<x<<y<<" ";
cout<<-x<<-y<<" ";
cout<<-x<<y<<" ";
cout<<x<<-y<<" ";  
}

//下半部
d2=b*b*(x+0.5)*(x+0.5)+a*a*(y-1)*(y-1)-a*a*b*b;
while(y<0){
    if(d2<=0){
        d2+=b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3);
        ++y;
        --y;
    }else{
        d2+=a*a*(-2*y+3);
        --y;
    }
cout<<x<<y<<" ";
cout<<-x<<-y<<" ";
cout<<-x<<y<<" ";
cout<<x<<-y<<" ";    
}


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