P2613 【模板】有理数取余

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#c++ #算法

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【模板】有理数取余

https://www.luogu.com.cn/problem/P2613

题目描述

给出一个有理数 $c=abc=\frac{a}{b}$ ，求 $\bmod 19260817$ 的值。

这个值被定义为 $bx≡a(mod19260817)bx\equiv a\pmod{19260817}$ 的解。

输入格式

一共两行。

第一行，一个整数 $a$ 。
第二行，一个整数 $b$ 。

输出格式

一个整数，代表求余后的结果。如果无解，输出 Angry!。

样例 #1

样例输入 #1

233
666

样例输出 #1

18595654

提示

对于所有数据，保证 $0≤a≤10100010\leq a \leq 10^{10001}$ ， $\leq b \leq 10^{10001}$ ，且 $a, b$ 不同时是 $19260817$ 的倍数。

代码

扩展欧几里得算法

#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
using ll       = long long;
constexpr ll P = 19260817;  // 使用constexpr表示为常量

// 扩展欧几里得算法
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
  // 递归终止
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  // 递归计算
  ll x1, y1, gcd;
  gcd = exgcd(b, a % b, x1, y1);
  x   = y1;
  y   = x1 - a / b * y1;
  return gcd;
}

// 求乘法逆元
ll mod_inverse(ll a) {
  ll x, y;
  ll gcd = exgcd(a, P, x, y);
  if (gcd != 1) {
    return -1;
  } else {
    return (x % P + P) % P;
  }
}

void solve() {
  // a和b太长，所以通过字符串输入
  string a_str, b_str;
  cin >> a_str >> b_str;
  ll a = 0, b = 0;
  for (char c : a_str) {
    a = (a * 10 + (c - '0')) % P;
  }
  for (char c : b_str) {
    b = (b * 10 + (c - '0')) % P;
  }

  ll b_inv = mod_inverse(b);
  if (b_inv == -1) {
    cout << "Angry!" << endl;
  } else
    cout << (a * b_inv) % P << endl;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);

  solve();
  return 0;
}

费马小定理

#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
using ll       = long long;
constexpr ll P = 19260817;

ll fast_pow(ll a, ll b) {
  ll res = 1;
  a %= P;
  while (b) {
    if (b & 1) {
      res = (res * a) % P;
    }
    a = (a * a) % P;
    b >>= 1;
  }
  return res;
}

void solve() {
  string a_str, b_str;
  cin >> a_str >> b_str;
  ll a = 0, b = 0;
  for (char c : a_str) {
    a = (a * 10 + (c - '0')) % P;
  }
  for (char c : b_str) {
    b = (b * 10 + (c - '0')) % P;
  }
  cout << (a * fast_pow(b, P - 2)) % P << endl;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);

  solve();
  return 0;
}

使用constexpr而不是const表示常量，constexpr 确保常量在编译时就可以计算，这对性能有很大的提升，因为它消除了运行时的计算。

使用字符串输入较长的数字，可以在转换的过程中就进行取模操作，而得数字的大小始终在指定范围内

  // a和b太长，所以通过字符串输入
  string a_str, b_str;
  cin >> a_str >> b_str;
  ll a = 0, b = 0;
  for (char c : a_str) {
    a = (a * 10 + (c - '0')) % P;
  }
  for (char c : b_str) {
    b = (b * 10 + (c - '0')) % P;
  }