P2613 【模板】有理数取余

【模板】有理数取余

https://www.luogu.com.cn/problem/P2613

题目描述

给出一个有理数 c=abc=\frac{a}{b}c=ba,求 c mod 19260817c \bmod 19260817cmod19260817 的值。

这个值被定义为 bx≡a(mod19260817)bx\equiv a\pmod{19260817}bxa(mod19260817) 的解。

输入格式

一共两行。

第一行,一个整数 aaa
第二行,一个整数 bbb

输出格式

一个整数,代表求余后的结果。如果无解,输出 Angry!

样例 #1

样例输入 #1
233
666
样例输出 #1
18595654

提示

对于所有数据,保证 0≤a≤10100010\leq a \leq 10^{10001}0a10100011≤b≤10100011 \leq b \leq 10^{10001}1b1010001,且 a,ba, ba,b 不同时是 192608171926081719260817 的倍数。

代码

扩展欧几里得算法
#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
using ll       = long long;
constexpr ll P = 19260817;  // 使用constexpr表示为常量

// 扩展欧几里得算法
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
  // 递归终止
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  // 递归计算
  ll x1, y1, gcd;
  gcd = exgcd(b, a % b, x1, y1);
  x   = y1;
  y   = x1 - a / b * y1;
  return gcd;
}

// 求乘法逆元
ll mod_inverse(ll a) {
  ll x, y;
  ll gcd = exgcd(a, P, x, y);
  if (gcd != 1) {
    return -1;
  } else {
    return (x % P + P) % P;
  }
}

void solve() {
  // a和b太长,所以通过字符串输入
  string a_str, b_str;
  cin >> a_str >> b_str;
  ll a = 0, b = 0;
  for (char c : a_str) {
    a = (a * 10 + (c - '0')) % P;
  }
  for (char c : b_str) {
    b = (b * 10 + (c - '0')) % P;
  }

  ll b_inv = mod_inverse(b);
  if (b_inv == -1) {
    cout << "Angry!" << endl;
  } else
    cout << (a * b_inv) % P << endl;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);

  solve();
  return 0;
}
费马小定理
#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
using ll       = long long;
constexpr ll P = 19260817;

ll fast_pow(ll a, ll b) {
  ll res = 1;
  a %= P;
  while (b) {
    if (b & 1) {
      res = (res * a) % P;
    }
    a = (a * a) % P;
    b >>= 1;
  }
  return res;
}

void solve() {
  string a_str, b_str;
  cin >> a_str >> b_str;
  ll a = 0, b = 0;
  for (char c : a_str) {
    a = (a * 10 + (c - '0')) % P;
  }
  for (char c : b_str) {
    b = (b * 10 + (c - '0')) % P;
  }
  cout << (a * fast_pow(b, P - 2)) % P << endl;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);

  solve();
  return 0;
}
  • 使用constexpr而不是const表示常量,constexpr 确保常量在编译时就可以计算,这对性能有很大的提升,因为它消除了运行时的计算。

  • 使用字符串输入较长的数字,可以在转换的过程中就进行取模操作,而得数字的大小始终在指定范围内

      // a和b太长,所以通过字符串输入
      string a_str, b_str;
      cin >> a_str >> b_str;
      ll a = 0, b = 0;
      for (char c : a_str) {
        a = (a * 10 + (c - '0')) % P;
      }
      for (char c : b_str) {
        b = (b * 10 + (c - '0')) % P;
      }
    
<think>题目要有理数,即解方程 b*x ≡ a (mod 19260817) 输入是两行字符串,分别代表大整数a和b(0<=a<=10^10001, 1<=b<=10^10001) 我们需要将a和b对模数19260817模,然后b的逆元,计算a*b^{-1} mod 19260817 注意:当b mod 19260817为0时,如果a mod 19260817不为0,则无解(输出Angry!);如果a也为0,但题目保证a,b不同时是19260817的倍数,所以当b mod 19260817为0时,a mod 19260817一定不为0,因此无解。 步骤: 1. 读入两个字符串s_a和s_b。 2. 将字符串s_a和s_b转换成模19260817下的整数(使用逐位模)。 3. 检查b_mod是否为0: 如果为0,则输出"Angry!"。 否则,计算b_mod的逆元(因为19260817是质数,所以可以用费马小定理:逆元为b_mod^(19260817-2) mod 19260817)。 4. 计算答案:ans = a_mod * inv_b % MOD,然后输出ans。 注意:题目中a可能为0,但b不为0,所以当a_mod为0时,结果就是0。 但是,之前代码已经可以处理,但为什么有人0分?可能是以下原因: - 没有考虑大数模过程中,字符串可能有前导0,但我们的模函数是逐位处理的,前导0不影响。 - 输入可能有负数?但题目保证a>=0, b>=1,所以不需要处理负数。 - 模数19260817是质数,所以费马小定理适用。 因此,代码和之前一样,但为了确保正确,我们重新写一遍,并注意细节。 重新实现: 使用常量MOD=19260817一个函数:long long read_mod() 用于读一行字符串并模。 修改:由于输入可能很长,使用getline读字符串,然后调用模函数。 但是,注意:题目输入是两行,每行可能以换行符结束,注意处理可能的回车。 我们使用getline读两行,然后对每行字符串进行模。 注意:字符串可能为空吗?题目保证a>=0, b>=1,所以至少b有一个数字。 重新编写代码: </think> # 有理数问题详解与实现 ## 问题分析 题目要有理数问题:给定两个大整数 $a$ 和 $b$(最大可达 $10^{10001}$), $c = \frac{a}{b} \mod 19260817$,即解方程 $bx \equiv a \pmod{19260817}$。 ### 关键点: 1. **大数处理**:$a$ 和 $b$ 可能非常大(最多 10,001 位),无法用标准整数类型存储 2. **模逆元计算**:由于 $19260817$ 是质数,可以使用费马小定理乘法逆元 3. **无解情况**:当 $b \equiv 0 \pmod{19260817}$ 且 $a \not\equiv 0$ 时无解 ## 解决方案 使用以下步骤解决问题: 1. 将超大整数 $a$ 和 $b$ 对 $19260817$ 模 2. 检查分母模值是否为 0: - 若 $b \equiv 0 \pmod{19260817}$ 且 $a \not\equiv 0$,输出 `Angry!` - 否则计算 $b$ 在模 $19260817$ 下的乘法逆元 3. 计算结果 $x \equiv a \times b^{-1} \pmod{19260817}$ ### 核心算法 1. **大数算法**:逐位处理字符串计算模值 2. **快速幂算法**:高效计算大指数幂模 3. **费马小定理**:$b^{-1} \equiv b^{p-2} \pmod{p}$($p$ 为质数) ## C++ 完整实现 ```cpp #include <iostream> #include <string> #include <cctype> using namespace std; const long long MOD = 19260817; // 大数模函数:将字符串表示的大整数转换为模 MOD 下的整数 long long string_to_mod(string num_str, long long mod) { long long result = 0; for (char c : num_str) { // 跳过非数字字符(如可能的换行符) if (!isdigit(c)) continue; // 逐位计算:result = (result * 10 + (c - '0')) % mod result = (result * 10 + (c - '0')) % mod; } return result; } // 快速幂算法:计算 base^exp % mod long long fast_power(long long base, long long exp, long long mod) { long long result = 1; base %= mod; // 确保 base 在模范围内 while (exp > 0) { // 如果 exp 是奇数,乘入结果 if (exp & 1) { result = (result * base) % mod; } // 底数平方 base = (base * base) % mod; // 指数减半 exp >>= 1; } return result; } // 主函数 int main() { string a_str, b_str; // 读输入 getline(cin, a_str); getline(cin, b_str); // 将大整数转换为模 MOD 下的整数 long long a_mod = string_to_mod(a_str, MOD); long long b_mod = string_to_mod(b_str, MOD); // 检查无解情况 if (b_mod == 0) { cout << "Angry!" << endl; } else { // 计算 b 的逆元(费马小定理) long long inv_b = fast_power(b_mod, MOD - 2, MOD); // 计算结果:x = a * b^{-1} mod MOD long long result = (a_mod * inv_b) % MOD; // 确保结果非负 if (result < 0) result += MOD; cout << result << endl; } return 0; } ``` ## 代码详解 ### 1. 大数模函数 (`string_to_mod`) ```cpp long long string_to_mod(string num_str, long long mod) { long long result = 0; for (char c : num_str) { if (!isdigit(c)) continue; result = (result * 10 + (c - '0')) % mod; } return result; } ``` - **功能**:将字符串形式的大整数转换为模 `MOD` 下的整数 - **原理**: - 从左到右逐位处理数字字符 - 使用公式 `result = (result * 10 + digit) % mod` 更新结果 - 跳过非数字字符(如换行符) - **复杂度**:$O(n)$,$n$ 为字符串长度 ### 2. 快速幂算法 (`fast_power`) ```cpp long long fast_power(long long base, long long exp, long long mod) { long long result = 1; base %= mod; while (exp > 0) { if (exp & 1) { result = (result * base) % mod; } base = (base * base) % mod; exp >>= 1; } return result; } ``` - **功能**:高效计算 $base^{exp} \mod mod$ - **原理**: - 将指数 $exp$ 表示为二进制形式 - 当 $exp$ 的最低位为 1 时,将当前 $base$ 乘入结果 - 每次迭代将 $base$ 平方,指数右移 - **复杂度**:$O(\log exp)$ ### 3. 主函数逻辑 ```cpp int main() { // 读输入 getline(cin, a_str); getline(cin, b_str); // 大数模 long long a_mod = string_to_mod(a_str, MOD); long long b_mod = string_to_mod(b_str, MOD); if (b_mod == 0) { cout << "Angry!" << endl; } else { // 计算逆元 long long inv_b = fast_power(b_mod, MOD - 2, MOD); // 计算结果 long long result = (a_mod * inv_b) % MOD; if (result < 0) result += MOD; // 确保结果非负 cout << result << endl; } return 0; } ``` - **输入处理**:使用 `getline` 读两行输入 - **无解判断**:当 $b \equiv 0 \pmod{MOD}$ 时无解 - **计算结果**: - 使用费马小定理计算 $b$ 的逆元 - 计算 $x \equiv a \times b^{-1} \pmod{MOD}$ - 确保结果在 $[0, MOD-1]$ 范围内 ## 测试用例 ### 输入 #1 ``` 233 666 ``` ### 输出 #1 ``` 18595654 ``` ### 边界情况测试 1. **$a=0$,$b \neq 0$**:输出 $0$ 2. **$b \equiv 0 \pmod{MOD}$**:输出 `Angry!` 3. **最大输入**:处理 $10^{10001}$ 位大数 ## 相关问题
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