8、二阶常微分方程求解方法：原理、应用与误差分析

二阶常微分方程求解方法：原理、应用与误差分析

1. 引言

在常微分方程初值问题（ODE - IVP）的求解中，欧拉方法是最简单的数值技术，但它的精度相对较低，全局截断误差（GTE）为 (O(h))。为了提高求解精度，本文将介绍几种二阶方法，包括改进的欧拉方法、龙格 - 库塔（RK - 2）方法及其相关的误差估计和外推技术。

2. 二阶方法的历史背景

18 世纪 70 年代，莱昂哈德·欧拉提出了欧拉方法。19 世纪末，卡尔·休恩对欧拉方法进行了改进。欧拉显式方法在计算 (y_{i + 1}) 时使用第 (i) 点的斜率 (f(t_i, y_i))，而欧拉隐式方法使用第 (i + 1) 点的斜率 (f(t_{i + 1}, y_{i + 1}))。休恩提出可以使用第 (i) 点的斜率和第 (i + 1) 点的“投影斜率”来提高精度。改进的欧拉方法（休恩方法）的公式为：
[y_{i + 1} = y_i + \frac{h}{2}[f(t_i, y_i) + f(t_{i + 1}, y_i + hf(t_i, y_i))]]
该方法的 GTE 约为 (O(h^2))，是一种二阶精度的方法。

3. 龙格 - 库塔（RK - 2）方法

3.1 RK - 2 方法的基本公式

RK - 2 方法的求解公式为：
[y_{i + 1} = y_i + h(w_1k_1 + w_2k_2)]
其中：
[k_1 = f(t_i, y_i)]
[k_2 = f(t_i + ph, y_i + qhk_1)]
这里，斜率 (f(t_i, y_i)) 被加权和 (S