18、密集对应及其应用：光学流算法详解

密集对应及其应用：光学流算法详解

在计算机视觉领域，密集对应是一个关键的研究方向，它在医学图像、视觉效果制作等多个领域都有广泛的应用。本文将深入探讨密集对应相关的概念和算法，特别是光学流算法，包括经典的Horn - Schunck和Lucas - Kanade方法，以及现代的改进和扩展。

1. 密集对应基础

在医学图像等领域，常常需要生成密集对应关系。例如，通过求解特定的微分方程和优化问题，可以得到一种同胚映射，避免网格线自相交问题。具体来说，速度场和映射通过以下微分方程相关联：
[
\frac{\partial S(x,y,t)}{\partial t} =
\begin{bmatrix}
u(x,y,t) \
v(x,y,t)
\end{bmatrix}, t \in [0,1]
]
初始条件为 (S(x,y,0) = (x,y))。问题是最小化一个表征速度场平滑性的函数，同时满足每个特征点在 (t = 0) 时的位置 ((x_i,y_i)) 在 (t = 1) 时移动到 ((x_i’,y_i’))。Joshi和Miller提出求解以下问题：
[
\min_{(u(x,y,t),v(x,y,t))} \int_{t = 0}^{1} \int \left((-\nabla^2u + cu)^2 + (-\nabla^2v + cv)^2\right) dx dy dt
]
[
\text{s.t. } x_i’ = x_i + \int_{t = 0}^{1} u(S(x,y,t),t) dt
]
[
y_i’ = y_i + \int_