多元正态分布的均值向量的检验及R实现

$p$维正态总体$N_P(\mu,\sum)$的均值向量检验，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自正态总体的样本：

1.$\sum$已知时单个总体均值向量的检验：

具体步骤：

• 作统计假设：$H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq \mu_0$
• 计算样本的均值
• 计算统计量的具体值:
  $$\begin{cases} U=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n} & \text{ if } p=1 \\ {T_0}^2= n(\bar{X}-\mu_0)'\sum^{-1}(\bar{X}-\mu_0)& \text{ if } p>1 \end{cases}$$
• 按规定的小概率标准$\alpha$，查$\chi^2$分布表，得临界值$\chi_\alpha^2(p)$，并做出判断：
  -当${T_0}^2\leqslant \chi_\alpha^2(p)$，接受原假设，即认为没有显著差异
  -当${T_0}^2> \chi_\alpha^2(p)$，拒绝原假设，即认为有显著差异

*R实现：

mu.test.known=function(data, mu0, Sigma0, alpha=0.05)   
###############################################################
## H0: mu=mu0 when Sigma0 is known
## this is a Chisq testing
##############  Input  ########################################
## data  = design matrix with the ith sample in the ith line
## mu0   = mu0 for null hypothesis
## Sigma0= the known variance matrix
## alpha = the significant level, default value = 0.05
############## Output  ########################################
## Reject.area = reject region
## p.value     = p value
###############################################################
{
  data=as.matrix(data) #将数据框转化为矩阵#
  n=nrow(data) #n行#
  p=ncol(data) #p列#

  X.bar=apply(data, 2, mean) #按列求均值#
  T1=n*t(X.bar-mu0)%*%solve(Sigma0)%*%(X.bar-mu0)

  a2=qchisq(1-alpha, p) #求下侧分位点，上侧：lower.tail = FALSE#

  reject=matrix(c(T1, a2), nrow=1) #按行排#
  rownames(reject)=c("Reject") #行名#
  colnames(reject)=c("Obs", ">1-alpha") #列名#

  pv=1-pchisq(T1, p) #右半累积概率，T越大，P越小，越拒绝#
  return(list(Reject.area=reject, p.value=pv))
}

2.$\sum$未知时单个总体均值向量的检验：

具体步骤：

• 作统计假设：$H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq \mu_0$
• 计算样本的均值$\bar{X}$和样本协方差V=1n−1∑ni=1(Xi−X¯)(