递归-欧几里得算法

注:本文核心部分全部转自leader_one的文章,这里表示十分感谢,这里主要记录学习过程供以后复习!
leader_one:https://blog.youkuaiyun.com/leader_one/article/details/75222771

算法描述:
欧几里德算法(Euclidean Algorithm)又称辗转相除法,是指用于计算两个正整数a,b的最大公约数,gcd(a,b )表示a和b的最大公约数(gcd = greatest common divisor),常用于数学和计算机两个领域。

公式:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (mod为取余)
条件:a、b为正整数 (当a%b=0时终止,且此时b为原a,原b的最大公约数)

举个简单例子,求26,42的最大公约数
gcd(42, 26) = gcd(26, 16) = gcd(16, 10) = gcd(10, 6) = gcd(6, 4) =
gcd(4, 2) = gcd(2, 0) = 2

得到26, 42的最大公约数为2

分解质因数也可以看出:
26 = 2 * 13
42 = 2 * 3 * 7

本人不是学数学的,自己不容易证出公式(学生时代也许可以),这里leader_one写的能看懂,搬过来了。

定理证明:
欧几里得有个非常强的定理,即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b),让我们来证明一下(mod 是取余,gcd是最大公约数,| 是能整除)

假设a、b的公约数为k,a = bx + y
则 k | a,k | b,a mod b=y
因为 k | b,所以 k |bx,又因为 k | a,所以 k | (a - bx),即 k | y
而a mod b = y,所以 k | a

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