TOA的定位，建模与解算的步骤、公式推导

TOA（到达时间）定位的核心是通过测量信号从目标到多个基站的传播时间，将其转换为距离信息，并利用几何关系解算目标位置。本文给出具体的建模与解算步骤及公式推导

通用模型建立

假设条件：

• 已知$N$个基站坐标$(x_i,y_i)$（$i=1,2,...,N$）。
• 目标位置为未知参数$(x,y)$。
• 信号传播速度为光速$c$（空中场景通常取$c=3\times 10^8\text{m/s}$）。

距离模型：
信号到达时间$t_i$对应的距离为：
$$r_i=c\cdot t_i=\sqrt{(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2}+n_i$$
其中$n_i$为测量噪声（通常假设为高斯白噪声），实际距离为$d_i=\sqrt{(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2}$。

非线性方程组构建

每个基站对应一个圆方程：
$$(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2=r_i^2(i=1,2,...,N)$$
由于噪声存在，方程需通过优化方法求解目标位置$(x,y)$。

线性化处理（最小二乘法）

将非线性方程转化为线性方程组以减少计算复杂度：

1. 展开方程：
   对第$i)个基站：
   [
   x^2 - 2x_i x + x_i^2 + y^2 - 2y_i y + y_i^2 = r_i^2
   ]

2. 消去二次项：
   选取第1个基站为参考，其余方程减去参考方程：
   $$-2(x_i-x_1)x-2(y_i-y_1)y=r_i^2-r_1^2-(x_i^2+y^{}$$