欧拉筛求1~n的欧拉值

最新推荐文章于 2022-12-31 11:12:14 发布

原创最新推荐文章于 2022-12-31 11:12:14 发布 · 353 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数论专栏收录该内容

24 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了欧拉函数的积性性质及其在数学中的应用，并提供了详细的代码实现，展示了如何通过筛法计算欧拉函数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前言

首先，根据欧拉函数的公式可以证明它是一个积性函数，于是有 $ϕ(a∗b)=ϕ(a)∗ϕ(b)\phi(a*b)=\phi(a)*\phi(b)$ 。对于欧拉函数有个性质： $当p∣x时，有ϕ(x∗p)=ϕ(x)∗p;否则ϕ(x∗p)=ϕ(x)∗ϕ(p)=ϕ(x)∗(p−1)当p|x时，有\phi(x*p)=\phi(x)*p;否则\phi(x*p)=\phi(x)*\phi(p)=\phi(x)*(p-1)$ 。这个性质还有个易于证明的形式是 $p ∣ n$ ，令 $x=npx=\frac{n}{p}$ ，若 $p^2|n$ ，即 $p ∣ x$ 时, $ϕ(n)=ϕ(x)∗p\phi(n)=\phi(x)*p$ ，否则 $ϕ(n)=ϕ(x)∗(p−1)\phi(n)=\phi(x)*(p-1)$ 。

代码实现：

bool vis[maxn];
int prime[maxn],len;
void euler(int n) {
  int k;
  memset(vis, false, sizeof(vis));
  phi[1]=1;
  vis[1]=true;
  len = 0;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!vis[i]) {
      phi[i]=i-1; //i为质数，则除了自己其他数字都与其互质(gcd(k,i)=1)
      prime[++len]=i;
    }
    for (int j = 1; j <= len; j++) {
      k = i * prime[j];
      if (k > n) break;
      vis[k] = true; //筛掉
      if (i % prime[j] == 0) { //找到一个最小质因数就要剔除
        phi[k]=phi[i]*prime[j];  //if p | x  : Ø(x*p) = Ø(x) * p
        break;
      } else {
        phi[k]=phi[i]*phi[prime[j]]; //积性函数的性质  phi[prime[j]] == prime[j]-1
      }
    }
  }
}