LeetCode793 阶乘函数后K个零（二分+数论）_leetcode 793 二分-优快云博客

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博客讨论了LeetCode 793题的解题方法，主要涉及计算阶乘尾部零的个数。文章指出，尾部零的个数由2和5的因子组合决定，由于2的因子数量通常更多，只需关注5的因子。通过计算n!中5的因子个数，并采用二分查找策略，可以确定使得阶乘尾部零数等于K的x值个数。代码实现中包括了`preimageSizeFZF`函数，用于寻找满足条件的x值。

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题目链接：leetcode793

题面

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题目大意

$f (x)$ 函数是一个求 $x!$ 结果尾部 0 个数的函数，现在给你一个 K ，让你求能够找到多少个 x 使得 $f (x) = K$ 。

解题思路

首先，我们考虑这个 $f (x)$ 函数，不难得出 $x!$ 尾部 0 的个数等于该数 2 和 5 因子的组数。分别考虑 $x!$ 的 2 因子和 5 因子的个数取最小值即两个因子的组数，显然，对于 $n!$ ， 5 的因子个数一定小于 2 的因子，所以考虑 5 的因子数。

$f(x)=\lfloor \frac{x}{5} \rfloor + \lfloor \frac{x}{5^2} \rfloor + ...$
显然， $f (x)$ 是一个单调递增函数。

转自：推导：传送门

求n!
0的来源 2 * 5 所以一对2和5即可产生一个0,所以0的个数即为min(阶乘中5的个数和2的个数)
又因为是2的倍数的数一定比是5的倍数的数多所以2的个数一定>=5的个数所以只需要统计 5 的个数了
例如 5！ = 1 * 2 * 3 * 4 * 5
2 2 2 5 一个2和一个5配对出现0 所以5!末尾只有一个零
而在 n = 25 时可以产生5的有 5 10 15 20 25
即 n/5 = 5个然鹅 25 = 55 所以少算了一个5
n>=25时,故而需要补上它因此所有可以产生25的也要加上
即为 n/5 + n/25 然鹅 125 = 525 所以又少算了一个5
n>=125时,故而需要补上它因此所有可以产生125的也要加上
即为 n/5 + n/25 + n/125 然鹅 625 = 5*125 所以又少算了一个5
继续补上…
所以最终为 n/5 + n/25 + n/125 + n/625 + …
即 n/5 + n/5/5 + n/5/5/5 + n/5/5/5/5 + …

我们考虑二分答案即可。当然，本题找到的符合题意的 x 要么有 5 个，要么没有。证明：当找到一个 x 使得： $5|x!\ 且\ f(x)=K$ 时，则存在 $f (x + 1) = f (x + 2) = f (x + 3) = f (x + 4) = K$ 。其实就相当于能够除以 5 后商相同的一定有 5 个。

代码实现

class Solution {
public:
    int preimageSizeFZF(int K) {
        if (K == 0) return 5;
        long long l = 0, r = 5LL * K + 1, mid, s;
        while (l < r) {
            mid = l + (r - l >> 1);
            s = getPrimeSize(mid, 5);
            if (s == K) return 5;
            if (s > K) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return 0;
    }
    
    //计算 n! 中 p 的因子个数
    int getPrimeSize(long long n, long long p) {
        long long sz = 0;
        while (n >= p) {
            sz += n/p;
            n /= p;
        }
        return sz;
    }
};