9、数字空间中的曲面与流形

数字空间中的曲面与流形

1. 数字表面点的分类

在数字空间中，简单表面点的分类是一个重要的研究内容。简单表面点涉及到该点及其周围的点，通过几何等价关系可以将包含该点的所有子集分类为若干几何等价类。在这些类中，只有少数能使该点成为简单表面点。
这里仅考虑简单表面点的直接邻接（6 - 邻接）。根据相关定理，有如下重要结论：
- 引理 5.4 ：如果 p 是简单表面点，那么在 Np 中包含 p 的每个线元胞恰好有两个平行移动；任意两个表面元胞在 Np 中是线连接的，并且 Np 中没有 3D 元胞。
- 定理 5.2 ：存在 6 种彼此几何不等价的简单表面点类型。

下面是证明定理 5.2 的步骤：
1. 从一个点 p 及其一个直接邻接点 p′开始（因为孤立点不能是简单表面点）。根据引理 5.4 和几何等价性，1 - 元胞 (p, p′) 必须有两个平行移动，由此只能得到图 5.9 中的两种情况。
2. 从图 5.9 的情况 (b) 可以推导出 N(27, p) 中具有三个表面元胞的简单表面点，结果是图 5.8 中的情况 (1)。
3. 由于每个线元胞必须恰好有两个平行移动，从图 5.9 可以发展出图 5.10 中具有 3 个表面元胞的三种情况，这是在几何等价关系下产生简单表面点且无重复的唯一可能性。
4. 继续推导，从图 5.10 可以发展出图 5.11 中具有 4 个表面元胞的 6 种情况。
5. 从图 5.11 的情况 (a) 和情况 (c) 可以得到图 5.8 中的情况 (2) 和情况 (3)。
6. 从图 5.11 可以发展出图 5.1