4、离散空间：图、格与数字空间的探索

离散空间：图、格与数字空间的探索

1. 距离度量与格

距离度量依赖于几何对象，例如平面和球面上的度量就不同。在格中，边的权重通常表示两个格点之间最短路径的长度，这条边一般是空间中的最小距离曲线，也就是相邻格点间的测地线。在计算机图形学里，格也被称为网格，所以曲面上的网格是格的典型例子。

常见的格图有三角剖分空间和网格空间。三角形是包含二维信息的最简单形状，被称为二维单纯形。若在新维度上添加一个点，就会得到包含四个端点的三维单纯形。一般来说，任何几何形状都能用单纯形进行划分，数学家将单纯形视为最重要的离散化单元。不过，由于计算机内存和磁盘存储以数组形式排列，类似网格空间，单纯形在计算机中较难表示。

网格空间是一种特殊的格，其中每个点都位于欧几里得空间的整数坐标位置，边通常平行于坐标轴。例如在二维平面中，x 坐标范围是 1 到 n，y 坐标范围也是 1 到 n，它类似于电视屏幕或数学中的二维数组。网格空间也叫网格单元空间，是数字空间的主要研究对象。

综上所述，格通常可看作嵌入欧几里得空间的图，只包含点和边，边一般为直线，像计算机图形学中的网格就是常见例子。格图与代数格不同，代数格定义在偏序集上，其中任意两个元素都有上确界和下确界。

2. 数字空间的基本概念

数字空间有两种定义：狭义上，数字空间是离散空间，其中每个点可定义为整数向量，即向量的每个分量都是整数；广义上，它是数字化或离散采样后以数字形式保存的空间。这里主要参考狭义的网格空间定义。

2.1 二维和三维数字空间

二维数字空间 Σ₂ 包含欧几里得平面 E₂ 上的所有整数点。对于点 P(x, y)，它有两个水平邻居 (x,