2、现代计算机时代的当代几何：数字与离散几何的探索

现代计算机时代的当代几何：数字与离散几何的探索

在现代计算机时代，几何领域迎来了新的发展，数字几何和离散几何成为了研究的热点。这些新兴的几何分支在计算机图形学、图像处理、数据处理等领域发挥着重要作用。

1. 当代几何的分类与概述

现代计算机时代的几何主要包括离散几何、数字几何、计算几何和数值几何。

• 离散几何 ：主要处理离散表示对象之间的几何关系。在计算机时代之前，它被称为组合几何。离散几何涉及组合问题，如计数和铺砌问题。例如，计算不规则多边形面积的皮克定理，以及计算凸边上(n)个点的三角剖分数量的卡特兰数公式(\frac{1}{n - 1}C(2n - 4, n - 2))（其中(C(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!m!})）。
• 数字几何 ：专注于数字或网格空间中的性质和应用。它源于图像处理、计算机视觉和计算机图形学的发展。数字几何与欧几里得空间的主要区别在于两点间距离的测量方式。在数字几何中，更关注(d_1(u, v) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|)和(d_{\infty}(u, v) = \max{|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|})。此外，数字空间并不总是满足约旦曲线定理。
• 计算几何 ：旨在考虑计算成本，设计算法来完成几何任务，如在多边形中找到最大圆。它有时也被称为算法几何。
• 数值几何 ：指在几何问题中使用数值方法，通常用于曲线和曲面的构造，如贝塞尔和B样条方法。
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