20、《ZZp²上的格雷映射、(u|u + v)构造与循环码》

《ZZp²上的格雷映射、(u|u + v)构造与循环码》

1. 引言

在编码理论中，循环码是一类重要的线性码，具有良好的代数结构和编码解码特性。而格雷映射则是一种将一个代数结构中的元素映射到另一个代数结构中的变换，在编码理论中有着广泛的应用。本文将探讨在ZZp²上的格雷映射、(u|u + v)构造与循环码之间的关系。

2. 基本概念

• 符号定义 ：设p为素数，“+”表示环ZZp²中的加法运算，“⊕p”表示有限域IFp中的加法运算。
• p - 进展开 ：对于任意元素u ∈ ZZp²，有p - 进展开式u = r0(u) + r1(u)p，其中ri(u) ∈ IFp。
• 格雷映射 ：定义在ZZn p²上的（广义）格雷映射Φ : ZZn p² → IFnp p 为：
  Φ(a) = (r1(a), r1(a) ⊕p (p - 1)r0(a), r1(a) ⊕p (p - 2)r0(a), …, r1(a) ⊕p r0(a))
• 齐次重量和度量 ：齐次重量wthom在ZZp²上定义为：
  wthom(a) =
  \begin{cases}
  0, & \text{if } a = 0 \
  p, & \text{if } a \in pZZp² \setminus {0} \
  (p - 1), & \text{otherwise}
  \end{cases}
  齐次度量δ