19、Trifocal Tensor Decomposition into Camera Matrices

Trifocal Tensor Decomposition into Camera Matrices

1. 引言

三焦张量（Trifocal Tensor）是多视图几何中的一个重要概念，它描述了三个不同视角下图像点之间的几何关系。通过将三焦张量分解为相机矩阵，我们可以更好地理解和重建三维场景。本文将详细探讨三焦张量的分解方法及其在计算机视觉中的应用。

2. 三焦张量的基本概念

三焦张量是一个三维数组 (T)，它描述了三个相机拍摄的同一场景中点之间的对应关系。假设我们有三个相机分别拍摄了同一场景中的点 (P)，这些点在三个图像中的投影分别为 (p_1)、(p_2) 和 (p_3)。三焦张量可以表示为：

[ T = [T_{ijk}] ]

其中 (i, j, k) 分别对应于三个图像中的坐标分量。三焦张量的元素 (T_{ijk}) 可以通过以下方式计算：

[ T_{ijk} = \mathbf{p} 1^T \cdot \mathbf{F} {12} \cdot \mathbf{p}_2 \times \mathbf{p}_3 ]

这里，(\mathbf{F}_{12}) 是两个相机之间的基本矩阵（Fundamental Matrix），(\times) 表示向量叉积。

2.1 三焦张量的性质

三焦张量具有以下重要性质：

• 多线性 ：三焦张量是关于三个图像点坐标的多线性函数。
• 对称性 ：在某些特定条件下，三