乘法逆元（51nod 1256）

最新推荐文章于 2021-05-17 10:48:44 发布

Charon_HN

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/c___c18/article/details/80598048

本文详细介绍了如何使用扩展欧几里得算法求解特定数学问题：即找到满足0<K<N且K*M%N=1的最小正整数K。通过三种不同的实现方式展示了该算法的具体应用，并给出了相应的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)Output输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。Sample Input

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Sample Output

下面用扩展欧几里得的方法求解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
void ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y, int &d){
    if (!b)
        {
            d = a;
         x = 1,
         y = 0;
     }
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);//这里一定要转换；递归的思想
        y =y- x * (a / b);
    }
}
int inv(int t, int p){//如果不存在，返回-1
    int d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
int main(){
    int a, p;
    cin>>a>>p;
    cout<<inv(a,p)<<endl;

}

#include<iostream>
using namespace std;
int e(int a,int m,int &x,int &y)//这里一定要取址，这也是我对用编程语言解决未知数的思路，get到了。
{
    if(!m)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
   int d=e(m,a%m,x,y);
   int t=x;
   x=y;
    y=t-(a/m)*y;
    return d;
}
int ans(int m,int n)
{
    int x,y,d;
    d=e(m,n,x,y);
    if(d==1)
        {
            while(x<=0)//这里直接用return (x%n+n)%n为的是解决负数问题，还有可能是求最小值的关键;
                x+=n;

            return x;
        }
    else
        return -1;
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    cout<<ans(m,n)<<endl;
}

这是费马小定理的解法，但是需要注意的是费马小定理要求mod的数是素数因此需要加欧拉函数这就是欧拉费马定理

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;//这个方法很容易就超界，要用longlong
ll pow_mod(ll a,ll p2,ll p)
{
ll ans=1;
while(p2)
{
if(p2&1)
ans=(ans*a)%p;
p2>>=1;
a=(a*a)%p;
}
return ans;
}
ll oula(ll a)
{
ll ans=a;
for(ll i=2;i*i<=a;i++)
if(a%i==0)
{
ans=(ans/i)*(i-1);
while(a%i==0)
a/=i;
}
if(a>1)
ans=(ans/a)*(a-1);
return ans;
}
int main()
{
ll m,n;
cin>>m>>n;
ll k=oula(n);
cout<<pow_mod(m,k-1,n)%n<<endl;//这里要mod一下n保证结果是最小的
return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL d;
int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if (!b)
        {
          //  d = a;
         x = 1,
         y = 0;
         return a;
     }
    else{
            int tx;
    int ty;
       d=ex_gcd(b, a % b, tx, ty);//这里一定要转换；递归的思想
        x=ty;
        y=tx-(a/b)*ty;
    }
    return d;
}
int inv(int t, int p){//如果不存在，返回-1
    int x, y;
  //  int d;
    ex_gcd(t, p, x, y);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
int main(){
    int a, p;
    cin>>a>>p;
    cout<<inv(a,p)<<endl;
    return 0;
    }