33、图论中的参数化问题研究

图论中的参数化问题研究

在图论领域，许多问题的复杂度分析和求解方法一直是研究的热点。本文将聚焦于参数化最大路径着色（MaxPC）和割宽（Cutwidth）这两个问题，深入探讨它们在不同参数条件下的复杂度和求解算法。

1. 参数化最大路径着色问题

在最大路径着色问题中，我们关注的是如何对图中的路径进行着色，以满足一定的需求。这涉及到多个参数，如带宽（W）、最大度（Δ）、拒绝请求数（T）和满足请求数（B）等。

1.1 问题构建与复杂度分析

• 对于规模为 (n(n + 4) + k) 的解，当且仅当 (S_1) 和 (S_2) 中活动顶点的选择兼容时才能实现，即初始图的对应顶点没有共同邻居。通过添加更多一致性小装置，确保所有 (\binom{k}{2}) 对选择兼容，最终图由 (\binom{k}{2}) 个小装置和 (2k) 条路径连接到一个度为 (\binom{k}{2} + 2k) 的顶点组成，顶点总数为 (O(n^2k^2))。
• 在复杂度方面，假设指数时间假设（ETH）成立，对于最大路径着色问题，不存在 (n^{o(W)}) 算法，即使是二叉树；当 (W = 2)，(\Delta = 4) 时，也不存在 (n^{o(t)}) 算法。定理 3 的归约在参数上是二次的，意味着不存在 (n^{o(\sqrt{\Delta})}) 算法，综合可得不存在 (n^{o(Wt\sqrt{\Delta})}) 算法。

1.2 涉及目标函数的参数化

• (pW, pΔ, pT)-MaxPC 问题 ：对于有向和无向树，(pW, pΔ,