32、针孔相机几何问题与齐次坐标求解

针孔相机几何问题与齐次坐标求解

1. 三大几何问题概述

在针孔相机模型的应用中，存在三个重要的几何问题，它们都以学习或推理问题的形式呈现，并且都通过最大似然估计来表述，最终归结为优化问题。

• 问题1：学习相机内参

  • 已知世界中一个物体上的 $I$ 个不同的 3D 点 ${w_i} {i = 1}^I$ 以及它们在图像中的对应 2D 投影 ${x_i} {i = 1}^I$，目标是估计相机的内参 $\Lambda$。这一过程也被称为相机校准，内参的准确获取对于使用相机构建世界的 3D 模型至关重要。其数学表达式为：
    [
    \hat{\Lambda} = \arg\max_{\Lambda} \left[ \max_{\Omega, \tau} \left( \sum_{i = 1}^I \log[\Pr(x_i|w_i, \Lambda, \Omega, \tau)] \right) \right]
    ]
  • 在这个问题中，虽然同时需要估计外参 $\Omega$ 和 $\tau$，但它们只是为了最终估计内参 $\Lambda$ 的中间步骤。相机校准通常需要一个已知的 3D 对象，常见的做法是构建一个定制的 3D 校准目标。

• 问题2：学习相机外参

  • 给定一个已知物体的 $I$ 个不同 3D 点 ${w_i} {i = 1}^I$、它们在图像中的对应投影 ${x_i} {i = 1