14、反馈顶点集：新度量与新结构下的算法改进

反馈顶点集：新度量与新结构下的算法改进

1. 引言

在图论领域，反馈顶点集（Feedback Vertex Set，FVS）问题是一个经典且重要的问题。给定一个图，反馈顶点集是指一个顶点子集，移除该子集后图中不再包含任何环。本文将围绕不相交反馈顶点集（disjoint - fvs）问题和一般反馈顶点集（fvs）问题展开，介绍相关算法及其改进。

2. 不相交反馈顶点集问题的初步结果

对于不相交反馈顶点集问题的 3 - 正则 V1 实例（G; V1, V2; k），存在一个时间复杂度为 O(n² log⁶ n) 的算法。该算法的主要步骤如下：
1. 构建图 G 的细分图 G2。
2. 在细分图 G2 上应用 Gabow 和 Stallmann 的算法，得到边子集 P。
3. 从边子集 P 构建 V1 - 邻接匹配 M。
4. 从 V1 - 邻接匹配 M 构建 V1 - FVS。

这个算法可以判断是否存在大小不超过 k 的 V1 - FVS，如果存在则构建该集合，否则正确报告不存在。结合相关规则，对于 V1 中所有顶点度数不超过 3 的不相交反馈顶点集实例，也能在 O(n² log⁶ n) 时间内解决。

3. 不相交反馈顶点集问题的改进算法

3.1 预处理

对于一般的不相交反馈顶点集问题实例（G; V1, V2; k），首先要对输入图 G 进行预处理。由于定义中诱导子图 G[V1] 和 G[V2] 都是森林，所以图 G 不能包含自环（即两端在同一顶点的边）。如果两个顶点 v 和 w 由多条边连接，那么 v 和 w 中恰好有一个在 V1 中，另一个在 V2