14、反馈顶点集：新度量与新结构算法解析

反馈顶点集：新度量与新结构算法解析

在图论领域，反馈顶点集（Feedback Vertex Set，FVS）问题是一个重要的研究课题。本文将深入探讨解决不相交反馈顶点集（disjoint - fvs）问题和一般反馈顶点集（fvs）问题的算法，介绍相关的理论成果和改进算法。

不相交反馈顶点集问题的初步结果

对于不相交反馈顶点集问题的3 - 正则V1实例（G; V1, V2; k），存在一个时间复杂度为$O(n^2 log^6 n)$的算法。该算法通过构建图G的细分图G2，应用Gabow和Stallmann的算法得到边子集P，再从P构建V1 - 邻接匹配M，最终从M得到V1 - FVS。

定理1 ：存在一个$O(n^2 log^6 n)$时间的算法，对于不相交反馈顶点集问题的3 - 正则V1实例（G; V1, V2; k），若存在大小不超过k的V1 - FVS，则构建该集合；若不存在，则正确报告“不存在”。

结合定理1和规则2，可得以下推论：

推论1 ：存在一个$O(n^2 log^6 n)$时间的算法，对于不相交反馈顶点集问题的实例（G; V1, V2; k），当V1中所有顶点的度不超过3时，若存在大小不超过k的V1 - FVS，则构建该集合；若不存在，则正确报告“不存在”。

不相交反馈顶点集问题的改进算法

对于一般的不相交反馈顶点集问题，我们先对输入图G进行预处理，去除自环和多重边。因为根据定义，诱导子图G[V1]和G[V2]都是森林，所以图G不能包含自环；若两个顶点v和w由多重边连接，则v和w一个在V1中，另一个在V2中