62、压缩函数与数论构造的深入解析

压缩函数与数论构造的深入解析

1. 基于分组密码的压缩函数

在密码学领域，基于分组密码构造压缩函数是一个重要的研究方向。下面我们将详细探讨其相关内容。

1.1 碰撞概率分析

对于碰撞概率，有如下公式：
[Pr[z - collision] \leq \sum_{i = 1}^{q + 2} \frac{i - 1}{2^{\lambda} - (i - 1)} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{(q + 2)(q + 3)}{2^{\lambda} - q}]
这里用到了(\sum_{i = 1}^{n} (i - 1) \leq \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{1}{2}n(n + 1))。当(q \geq 2^{\lambda - 1})时，定理的边界变得无用，因为上述项超过了(1)。所以我们设定(q < 2^{\lambda - 1})，并简化公式得到：
[\frac{1}{2} \cdot \frac{(q + 2)(q + 3)}{2^{\lambda} - q} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{(q + 2)(q + 3)}{2^{\lambda} - 2^{\lambda - 1}} \leq \frac{(q + 2)(q + 3)}{2^{\lambda}}]
最终得到优势边界：
[Adv_{cr}^{h_E, A}(\lambda) \leq \frac{(q(\lambda) + 2)(q(\lambda) + 3)}{2^{\lambda}}]

1.2 PGV 方案的原像抗性

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