79、自私装箱覆盖与混合目标拥塞博弈的深入研究

自私装箱覆盖与混合目标拥塞博弈的深入研究

自私装箱覆盖的改进纳什均衡

在自私装箱覆盖问题中，无冗余机制（No - Redundance mechanism）虽然能激活并调动所有冗余物品，但它通过赋予较大物品优先级，导致物品迁移难以终止，甚至可能不存在纳什均衡（NE）。因为只要存在由较小物品组成的箱子，较大物品就会自私地尝试迁移，毕竟较小物品会首先被踢出。

为了解决这个问题，基于限制物品迁移并使所得箱子大小足够小，以便剩余物品能覆盖更多箱子的想法，我们引入了改进纳什均衡（Modified Nash Equilibrium，M - NE）的概念。为了简便，我们将覆盖箱 B 中的冗余物品集记为 R(B)。

定义 1 ：一个划分 π = (B1, B2, …, Bm) 被称为改进纳什均衡，当且仅当不存在物品 aj ∈L 和箱子 Bi（1 ≤i ≤m，Bi ≠ Bj,π），使得：
1. aj 移动到 Bi 会严格受益；
2. s(B′i) < min{δ(Bj,π), δ(Bi)}，其中 B′i = Bi ∪{aj}（如果 s(Bi) + s(aj) < 1）；如果 s(Bi) + s(aj) ≥1，B′i 是 Bi ∪{aj} 中冗余物品迁移后得到的最小覆盖箱，即 B′i = Bi ∪{aj}\R(Bi ∪{aj})。对于任何箱子 B，
[
\delta(B) =
\begin{cases}
s(B), & \text{如果 B 被覆盖}\
+\infty, & \text{否则}
\end{cases}
]