70、云环境下的高效调度算法研究

云环境下的高效调度算法研究

1. 度为 2 的通信树调度算法

在处理度为 2 的依赖图实例时，我们采用了一种简单的贪心算法 A1，它是经典 NextFit 算法的直接改编。该算法从度为 1 的节点开始，按路径顺序分配物品。若物品能放入当前箱子且不违反容量和边约束，则放入；若不能，则尽可能多地将物品放入当前箱子，然后开启新箱子放置剩余部分。

算法 A1 具有以下特点：
- 近似比分析 ：通过将算法 A1 使用的箱子集合划分为 B1（容量约束严格的箱子）和 B2（未装满但边约束严格的箱子），并定义物品集合 E1、E2 和 ER，我们可以得出 A1 的渐近近似比至多为 (2 - \frac{1}{2(m - 1)})。具体推导过程如下：
- 首先，(A1 = |B1| + |B2| + \lceil \frac{|ER|}{m - 1} \rceil)，因为每个箱子要么属于 B1，要么属于 B2，要么是最后一个箱子。
- 由于 B1 中的箱子只包含 E1 中的物品，所以 (|B1| \leq \sum_{e \in E1} s_e)；B2 中的每个箱子包含 (m - 1) 个 E2 中的物品，且 E2 中的每个物品最多放入一个 B2 中的箱子，所以 (|B2| = \frac{|E2|}{m - 1})。
- 对于最优解 Opt，有 (Opt \geq \lceil \sum_{e \in E} s_e \rceil) 和 (Opt \geq \frac{|E|}{m - 1})，这分别由容量和边约束得出。
- 结合 (|E| = |E1| + |E2| + |ER| - |E’|) 以及 (|E’| \leq \fr