56、拼车算法分析：NP 难题与多项式时间可解情况

拼车算法分析：NP 难题与多项式时间可解情况

1. 问题背景与定义

拼车问题旨在优化司机数量和总行驶距离，同时满足一系列条件。在不同条件组合下，该问题呈现出不同的复杂度。

2. 特定条件下的 NP 难题

• 条件（C1）、（C2）满足但（C3）不满足时
  • 行程集合定义 ：行程集合 $R_A = {1, \ldots, 3k + kM}$ 包含两类行程。对于 $1 \leq i \leq 3k$ 的行程 $i$，起点 $s_i = u_i$，终点 $t_i = D$，乘客数量 $n_i = a_i$，绕路距离 $d_i = 0$，有 $k$ 条首选路径；对于 $3k + 1 \leq i \leq 3k + kM$ 的行程 $i$，起点 $s_i = v_j$（$j = \lceil(i - 3k)/M\rceil$），终点 $t_i = D$，乘客数量 $n_i = 0$，绕路距离 $d_i = 0$，有唯一首选路径。
  • 引理 2 ：在实例 $(G, R_A)$ 的任何解中，$1 \leq i \leq 3k$ 的行程均为司机，总行驶距离至少为 $9k$。因为不允许绕路（条件（C2）），所以这些行程必须是司机。恰好有 $3k$ 个司机的解总行驶距离为 $9k$，若 $3k + 1 \leq i \leq 3k + kM$ 的行程为司机，总行驶距离大于 $9k$。
  • 定理 3 ：当条件（C1）和（C2）满足但条件（C3）不满足时，最小化司