52、树中连续连通2-设施定位问题的算法解析

树中连续连通2-设施定位问题的算法解析

1. 树中DT1FLP的线性时间算法

1.1 算法概述

对于树 $T = (V, E, c, d, ℓ)$ 中的DT1FLP问题，我们可以使用CDP（组合动态规划）设计一个线性时间的精确算法。通过计算所有 $v \in V$ 的 $F_1(v)$ 值，然后找出最小值，就能得到树 $T$ 的最优DT1F，即 $v^*$。

1.2 计算 $F_1(v)$

我们将 $F_1(v)$ 拆分为 $F_1^{(1)}(v)$ 和 $F_1^{(2)}(v)$ 两部分：
- $F_1^{(1)}(v) = \sum_{u \in V} d(u)c(v, u)$
- $F_1^{(2)}(v) = \ell(v) + Kc(v, \alpha)$

对于 $F_1^{(2)}(v)$，由于 $\ell(v)$ 是DT1CP输入的一部分，而 $c(v, \alpha)$ 可以通过预处理过程PreDT1FLP获得。PreDT1FLP的思路是使用DFS（深度优先搜索）以 $\alpha$ 为起点遍历树 $T$，当首次通过从 $u$ 到 $v$ 的弧访问新节点 $v$ 时，将树距离 $c(\alpha, v)$ 设置为 $c(\alpha, u) + c(u, v)$。实际上，PreDT1FLP只调用一次DFS，就能在 $O(|V|)$ 时间内生成以 $\alpha$ 为起点的所有树距离。

1.3 计算 $F_1^{(1)}(v)$

为了计算所有 $v \in V$ 的 $F_1^{(1)}(v)$ 值，我们定义以下概念：
- $S(v)$：$v