47、凸多面体距离函数下的 2 - 中心问题及平面彩色单纯形深度与中位数算法

凸多面体距离函数下的 2 - 中心问题及平面彩色单纯形深度与中位数算法

凸多面体距离函数下的 2 - 中心问题

在平面中，对于一组包含 $n$ 个点的集合 $S$ 和一个包含原点的凸多边形 $P$，在距离函数 $\delta_P()$ 下，$S$ 的 2 - 中心可以在 $O(n \log m)$ 时间内计算得出，其中 $m = |P|$。

在三维空间里，同样可以高效地计算在凸多面体距离函数下的 2 - 中心。下面是具体的算法步骤：
1. 计算极端点 ：使用与多面体 $P$ 的面垂直的方向，计算集合 $S$ 中的 $m$ 个极端点。
2. 确定最小缩放因子 ：计算最小的 $s > 0$，使得步骤 1 中计算出的点可以被某个平移后的多面体 $sP + t$（$t \in R^3$）覆盖。设 $p_1, p_2, \ldots, p_k$（$k \leq m$）为多面体 $sP + t$ 边界上来自集合 $S$ 的最多 $m$ 个点（每个面最多一个点）。
3. 当 $k \geq 5$ 时的处理 ：选取 3 个点 $p_i, p_j$ 和 $p_l$。类似于二维 2 - 中心算法中的缩放操作，在由通过对应于 $p_i, p_j, p_l$ 的面的 3 个平面所界定的锥体内进行二分查找。这一步可以在线性时间（关于 $n$）内完成，但一个简单的实现方式的时间复杂度为 $O(n \log n \log m)$ 也足够了。
4. 当 $k = 4$ 时的处理 ：对于每一对 $p_i$ 和 $p_j$（$1 \leq