46、凸多面体距离函数下的 2 - 中心问题研究

凸多面体距离函数下的 2 - 中心问题研究

1. 引言

在计算几何领域，度量或距离函数是一个重要的研究方向。传统的欧几里得度量和 Lp - 度量被广泛应用，但凸距离函数作为一种推广形式，也有着独特的性质和应用场景。例如，在早期的计算几何研讨会上，凸距离函数就已经出现。

最近，有研究聚焦于凸多面体距离函数下的 1 - 中心问题，其中距离函数的单位球是一个凸多面体。而本文则着重探讨凸多面体距离函数下的 2 - 中心问题，分别给出了在平面（d = 2）和三维空间（d = 3）中的算法，并证明了在三维空间中计算 2 - 中心问题存在 Ω(n log n) 的下界。

2. 相关概念

• 凸距离函数 ：若 P 是一个包含原点 O 的凸有界区域，从原点到点 p 的距离是 P 的拉伸因子，使得拉伸后的 P 的边界包含 p。即距离为 |p|/|pP|，其中 pP 是从原点到 p 的射线与 P 的边界的交点。从点 a 到点 b 的距离定义为从原点到 b - a 的距离。由于区域 P 是星形的，所以这个距离是有定义的，但该距离函数可能不满足度量的对称性。
• 多面体凸距离函数 ：对于 i = 1, 2, …, m，设 ai ∈ Rd 且 bi ∈ R + ，考虑一个具有 m 个面的凸多面体 P = {x ∈ Rd | aix ≤ bi, i = 1, 2, …, m}。那么从点 x ∈ Rd 到点 y ∈ Rd 的多面体凸距离函数 δP(x, y) 定义为：
  [
  \min r \quad \text{s.t.} \quad a_i(y - x) \leq