45、利用聚类和二分查找解决受限灯光部署问题

利用聚类和二分查找解决受限灯光部署问题

在照明系统的设计中，如何以最少的灯光数量满足照明需求，同时降低能耗，是一个具有挑战性的问题。本文将介绍一种启发式算法，通过分层聚类和二分查找来解决受限灯光部署问题（CLDP）。

1. 主要思路

由于CLDP问题是NP难问题，我们提出了一种启发式算法。其核心思想是计算所需灯光数量 $n_s$ 的上下界 $n_{lb}$ 和 $n_{ub}$，然后使用迭代二分查找来找到最优的 $n_s$ 值。

为了完整解释该算法，我们需要回答以下几个问题：
1. 分层聚类中聚类的对象是什么？
2. $n_s$ 个灯光放置在何处？
3. 如何确定 $n_s$ 个灯光是否足以满足照明要求？
4. 初始下界 $n_{lb}$ 如何设置？
5. 初始上界 $n_{ub}$ 如何设置？

接下来，我们将依次回答前四个问题，第五个问题将在后续部分阐述。

2. 观测点的分层聚类

在多边形内部有无数个点，我们无法逐个检查照明要求是否满足，而且灯光的位置可能具有无理坐标。为了解决这些问题，我们在二维平面上放置一个单位正方形网格，并利用落在正交多边形内的网格顶点，即观测点。

这里选择坐标系的尺度，使得有效照明区域的半径 $R \geq 1$。我们首先计算任意两个观测点之间的无障碍距离，然后使用这些距离值对观测点进行聚类。由于一些聚类算法（如K-means）对初始均值的选择很敏感，我们采用分层聚类来避免在选择初始聚类中心时的困难。分层聚类采用自底向上的方法，每个观测点最初都属于自己的聚类，随着层次的上升，聚类对逐渐合并，直到达到二分查找指定的聚类数量